"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 8

Задача 34.

Решите уравнение.

$$2\arcsin (x)=\arcsin(x\sqrt{2})$$

Решение. Пусть $\arcsin (x)=y,\ \ \ \  \sin y=x$.

$$2y=\arcsin(x\sqrt{2})$$

$$\sin 2y= x\sqrt{2}$$

Раскрываем синус двойного угла:

$$2\sin y \cos y= x\sqrt{2}$$

Если $\sin y=x$, то $\cos y=\sqrt{1-x^2}$. Подставляем:

$$2x\cdot \sqrt{1-x^2}= x\sqrt{2}$$

$$x\sqrt{2} \left(\sqrt{2(1-x^2)}-1\right)=0$$

Либо $x=0$, либо $x^2=\frac{1}{2}$, $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\{0;\ \ \ \   \frac{\sqrt{2}}{2}; \ \ \ \ -\frac{\sqrt{2}}{2} \}$

 

Задача 35.

Решите уравнение.

$$2\arccos x=\arccos (2x^2-1)$$

Решение. Пусть $\arccos x=y,\ \ \ \  \cos y=x$.

$$2y=\arccos(2x^2-1)$$

$$\cos 2y=\cos(\arccos(2x^2-1))$$

$$\cos 2y=2x^2-1$$

$$2\cos^2 y-1=2x^2-1$$

$$2x^2-1=2x^2-1$$

Решением такого уравнения являются любые числа из его ОДЗ.

$$-1\leqslant 2x^2-1\leqslant 1$$

$$0\leqslant 2x^2\leqslant 2$$

Левая часть всегда выполняется, правая:

$$ x^2\leqslant 1$$

$$-1\leqslant x \leqslant 1$$

Так как при замене $x$ на $-x$ правая часть исходного уравнения никак не изменится, а левая – изменится, то делаем вывод, что $x\geqslant 0$.

Таким образом, $x \in [0;1]$.

Ответ: $x \in [0;1]$.

 

Задача 36.

Решите уравнение.

$$\arccos x=\frac{2}{3}\arcsin  (2x)$$

Решение. Пусть $y=\arccos x;\ \ \ \  \cos y=x$. Тогда

$$\arcsin  (2x)=\frac{3}{2}y$$

$$\sin(\arcsin  (2x))=\sin \left(\frac{3}{2}y \right)$$

$$2x=\sin \left(\frac{3}{2}y \right)$$

Если $3y$ - полный угол, то $\frac{3}{2}y$ - половинный угол.

$$\sin \left(\frac{3}{2}y \right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos 3y}{2}}$$

$$(2x)^2=\frac{1-\cos 3y}{2}=\frac{1-4\cos^3 y+3\cos y}{2}=\frac{1-4x^3+3x}{2}$$

Получили уравнение:

$$8x^2=1-4x^3+3x$$

Раскладываем на множители (пробуем):

$$4x^3+8x^2-3x-1=0$$

$$4x^3-2x^2+10x^2-3x-1=0$$

$$2x^2(2x-1)+10x^2-5x+2x-1=0$$

$$2x^2(2x-1)+5x(2x-1)+(2x-1)=0$$

$$(2x-1)(2x^2+5x+1)=0$$

Корнями являются $\frac{1}{2}$ и $\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}$. Первый вполне подходит, корень $\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$ меньше, чем (-1) – не подходит, корень $\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$ отрицателен, и при подстановке в уравнение оказывается, что правая и левая части имеют разные знаки.

Ответ: $\frac{1}{2}$

 

 

Задача 37.

Решите уравнение.

$$\arccos x=\frac{3}{2}\arccos (\frac{x}{2})$$

Перепишем:

$$\arccos 2y=\frac{3}{2}\arccos y$$

Здесь $2y=x$. Пусть $\alpha=\arccos y$,   $\cos \alpha=y$.

$$\cos(\arccos 2y)=\cos(\frac{3}{2}\alpha)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)$$

Пусть $3\alpha$ - полный угол, $\frac{3}{2}\alpha$ - половинный угол. Они связаны соотношением

$$\cos^2(\frac{3}{2}\alpha)=\frac{1+\cos 3\alpha}{2}$$

$$\cos^2(\frac{3}{2}\alpha)=\frac{1+4\cos^3\alpha-3\cos \alpha}{2}$$

Возвращаемся к (*)

$$2y=\frac{1+4y^3-3y}{2}$$

$$4y^3-8y^2-3y+1=0$$

Думается, можно разложить на множители, но корень-то другой, не такой, как в предыдущем уравнении.

$$4y^3+2y^2-10y^2-3y+1=0$$

$$4y^3+2y^2-10y^2-5y+2y+1=0$$

$$2y^2(2y+1)-5y(2y+1)+(2y+1)=0$$

$$(2y+1)(2y^2-5y+1)=0$$

Корни $y=-\frac{1}{2}$ и $\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$. Первый приводит к $x=-1$, что подходит. Второй - $\frac{5+\sqrt{17}}{2}$ - более 1 по модулю, не подходит. Третий - $\frac{5-\sqrt{17}}{2}$ - вполне приличный с виду, но $\arccos (\frac{x}{2})<\arccos x$, а так может быть, если $\frac{x}{2}>x$ (арккосинус – убывает). А последнее справедливо при $x<0$, тогда как корень-то, который мы проверяем, положителен. Значит, подходит только $y=-\frac{1}{2}$ ($x=-1$).

Ответ: $x=-1$.

 

Задача 38.

Решите уравнение.

$$2\arccos x=\arcsin (2x\sqrt{1-x^2})$$

Решение. Пусть $\arccos x=y, \cos y=x$. Тогда

$$2y=\arcsin (2x\sqrt{1-x^2})$$

$$\sin 2y=\sin(\arcsin (2x\sqrt{1-x^2}))$$

$$\sin 2y=2x\sqrt{1-x^2}$$

Раскрываем синус двойного угла, если $\cos y=x$, то $\sin y=\sqrt{1-x^2}$.

$$2x\sqrt{1-x^2}=2x\sqrt{1-x^2}$$

Решением такого уравнения являются любые числа из его ОДЗ.

$x$ положителен, иначе левая и правая части будут иметь разные знаки, подкоренное положительно -  $x \in [-1;\ \ 1]$, следовательно, $x \in [0; 1]$. Кроме того, так как правая часть в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, то левая – от $0$ до $\frac{\pi}{4}$. А значит, $x \in [\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]$.

Ответ: $x \in [\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]$.