"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 7

Задача 30.

Решите уравнение.

$$2\arcsin (x)+ \arccos (2x)=\frac{6\pi}{7}$$

Решение. Угол уж больно неудобный. Есть подозрение, что решений нет. Исследуем функцию слева: она на отрезке от нуля до $\frac{1}{2}$ убывающая, максимум имеет в нуле, и этот максимум - $\frac{\pi}{2}$, что меньше, чем $\frac{6\pi}{7}$.

Ответ: решений нет.

Задача 31.

Решите уравнение.

$$\arccos \frac{2}{x}+\arccos \frac{1}{2-x}=\pi$$

Решение.

$$\arccos \frac{1}{2-x}=\pi - \arccos \frac{2}{x}$$

Значит,

$$\cos\left(\arccos \frac{1}{2-x} \right)=\cos \left(\pi - \arccos \frac{2}{x} \right)$$

$$ \frac{1}{2-x}=\cos \pi \cdot \frac{2}{x}-\sin \pi\cdot \sin \left(\arccos\frac{2}{x}\right)$$

$$ \frac{1}{2-x}=-\frac{2}{x}-0$$

$$ \frac{1}{2-x}+\frac{2}{x}=0$$

$$\frac{x+2(2-x)}{(2-x)x}=0$$

$$-x+4=0$$

$$x=4$$

Ответ: $x=4$

Задача 32.

Решите уравнение.

$$\arcsin (2\cos x)+\arccos (3\sin x)=\frac{\pi}{2}$$

Решение.

$$\arcsin (2\cos x)= \frac{\pi}{2} - \arccos (3\sin x)$$

$$\arcsin (2\cos x)= \arcsin (3\sin x)$$

$$2\cos x=3\sin x$$

$$\operatorname{tg} x=\frac{2}{3}$$

$$x=\operatorname{arctg}\frac{2}{3}+ \pi k$$

Ответ: $x=\operatorname{arctg}\frac{2}{3}+ \pi k, k \in Z$

Задача 33.

Решите уравнение.

$$2\arccos (-\frac{x}{2})=\arccos(x+3)$$

Пусть $y=\arccos (-\frac{x}{2}), \cos y=-\frac{x}{2}$.

Тогда

$$2 y=\arccos(x+3)$$

$$\cos 2y=x+3$$

Раскрываем косинус двойного угла:

$$2\cos^2 y-1=x+3$$

А теперь заменим $\cos y=-\frac{x}{2}$:

$$2\cdot \left(-\frac{x}{2}\right)^2-1=x+3$$

$$\frac{x^2}{2}-x-4=0$$

Корни по Виету $\{-2; 4\}$, проверим:

$$-1\leqslant x+3 \leqslant 1$$

$$-4\leqslant x \leqslant -2$$

Ответ: ${-2}$.