"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 6

Задача 26.

Решите уравнение.

$$\arcsin (2x)=3\arcsin (x)$$

$$\sin(\arcsin (2x))=\sin(3\arcsin (x))$$

$$2x=\sin(3\arcsin (x))$$

Пусть $\alpha=\arcsin (x)$, $\sin \alpha =x$. Тогда

$$\sin (3\alpha)=3\sin  \alpha - 4\sin^3 \alpha=3x-4x^3$$

$$2x=3x-4x^3$$

$$x(4x^2-1)=0$$

Корни $\{0; \ \ \ \  \frac{1}{2}; \ \ \ \   -\frac{1}{2}\}$, все они подходят.

Ответ: $\{0; \ \ \ \  \frac{1}{2}; \ \ \ \   -\frac{1}{2}\}$

Задача 27.

Решите уравнение.

$$\arccos (x-1)=2\arccos (x)$$

$$\cos(\arccos (x-1))=\cos(2\arccos (x))$$

Пусть $\alpha=\arccos (x)$, $\cos \alpha =x$. Тогда

$$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2x^2-1$$

$$x-1=2x^2-1$$

$$2x^2-x=0$$

Корни $\{0; \ \ \ \  \frac{1}{2}\}$, все они подходят.

Ответ: $\{0; \ \ \ \  \frac{1}{2}; \}$

Задача 28.

Решите уравнение.

$$\arccos (3x-4)=2\operatorname{arctg}(5-3x)$$

$$\cos(\arccos (3x-4))=\cos(2\operatorname{arctg}(5-3x))$$

Пусть $\alpha=\operatorname{arctg}(5-3x)$, $\operatorname{tg}\alpha=5-3x$

$$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$

$$\cos^2 \alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}^2 \alpha+1}$$

Тогда

$$3x-4=\frac{2}{(5-3x)^2+1}-1$$

Если решать  «в лоб», получим уравнение третьей степени, которое можно разложить на множители, хоть и сложно. А попробуем замену сделать. $y=3x-5$.

$$y+1=\frac{2}{y^2+1}-1$$

$$(y^2+1)(y+2)=2$$

$$y^3+2y^2+y=0$$

$$y=0;\ \ \ \  y=-1$$

Тогда $3x-5=0$, $x=\frac{5}{3}$. Или $3x-5=-1$, $x=\frac{4}{3}$.

 Ответ: $x=\frac{5}{3}$ или $x=\frac{4}{3}$.

Задача 29.

Решите уравнение.

$$\arcsin (2x)+ \arcsin (x)=\frac{\pi}{3}$$

$$\arcsin (2x) =\frac{\pi}{3}-\arcsin (x)$$

$$\sin(\arcsin (2x)) =\sin(\frac{\pi}{3}-\arcsin (x))$$

Раскроем синус разности.

$$\sin(\arcsin (2x)) =\sin\frac{\pi}{3}\cdot \cos(\arcsin (x))-\cos \frac{\pi}{3}\cdot \sin(\arcsin (x))$$

$$2x =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos(\arcsin (x))-\frac{1}{2}\cdot x$$

$$\frac{5x}{\sqrt{3}}=\cos(\arcsin (x))$$

$$\frac{5x}{\sqrt{3}}=\cos(\arccos \sqrt{1-x^2})$$

$$\frac{5x}{\sqrt{3}}=\sqrt{1-x^2}$$

$$\frac{25x^2}{3}=1-x^2$$

$$\frac{28x^2}{3}=1$$

$$x=\sqrt{\frac{3}{28}}$$

Ответ: $x=\sqrt{\frac{3}{28}}$