"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 5

Задача 22.

Решите уравнение.

$$\arcsin (x^2-2x)=\arccos \sqrt{1-x^2}$$

Применяем стандартный прием:

$$(x^2-2x)^2+(1-x^2)=1$$

$$(x^2-2x)^2-x^2=0$$

Раскроем разность квадратов:

$$(x^2-2x-x)(x^2-2x+x)=0$$

$$(x^2-3x)(x^2-x)=0$$

Корни ${1,\ \ \ \3,\ \ \ \0}$, но некоторые – посторонние. Так как $-1\leqslant x^2-2x\leqslant 1$, то корнем является только 1.

Ответ: 1

Задача 23.

Решите уравнение.

$$\arcsin (1+2\cos x)+\arccos(1+ 3\operatorname{tg}x)=\frac{\pi}{2}$$

$$\arcsin (1+2\cos x)= \frac{\pi}{2}-\arccos(1+ 3\operatorname{tg}x)$$

$$\sin(\arcsin (1+2\cos x))=\sin \left( \frac{\pi}{2}-\arccos(1+ 3\operatorname{tg}x)\right)$$

$$1+2\cos x=1+3\operatorname{tg}x$$

$$2\cos x=3\operatorname{tg}x$$

Ну, далее обычное тригонометрическое уравнение:

$$\frac{2\cos^2 x -3\sin x}{\cos x}=0$$

$$2\cos^2 x -3\sin x=0$$

$$2\cdot (1-\sin^2 x)-3\sin x=0$$

$$2\sin^2 x +3\sin x -2 =0$$

Подходящий корень уравнения - $\frac{1}{2}$,

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Так как

$$-1\leqslant 1+2\cos x\leqslant 1$$

$$-2\leqslant 2\cos x\leqslant 0$$

$$-1\leqslant \cos x\leqslant 0$$

То корнем уравнения $\sin x=\frac{1}{2}$ будет являться только точка $\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in Z$.

Ответ: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in Z$

Задача 24.

Решите уравнение:

$$\arcsin x=2\operatorname{arctg} \frac{2x}{3}$$

$$\sin (\arcsin x)=\sin \left(2\operatorname{arctg} \frac{2x}{3} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ (*)$$

Пусть $\alpha=\operatorname{arctg} \frac{2x}{3}$, $\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha$.

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{2x}{3}$$

Из рисунка видно, что

$$\sin \alpha=\frac{2x}{\sqrt{9+4x^2}}$$

$$\cos \alpha=\frac{3}{\sqrt{9+4x^2}}$$

Подставим в (*):

$$x=2\cdot\frac{2x}{\sqrt{9+4x^2}}\cdot \frac{3}{\sqrt{9+4x^2}}$$

$$x\left(1-\frac{12}{9+4x^2}\right)=0$$

Первый корень $x=0$,

$$1-\frac{12}{9+4x^2}=0$$

$$12=9+4x^2$$

$$x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\{0;\ \ \ \ \frac{\sqrt{3}}{2}; \ \ \ \ -\frac{\sqrt{3}}{2} \}$

Задача 25.

Решите уравнение.

$$\arcsin (x^2-2x+2)=\frac{\pi x }{2}$$

$$ x^2-2x+2=\sin\frac{\pi x }{2}$$

$$ x^2-2x+1=\sin\frac{\pi x }{2}-1$$

$$(x-1)^2=\sin\frac{\pi x }{2}-1$$

Всегда, когда в уравнении встречаются разнородные функции, -  корень и тригонометрическая функция, логарифм и показательная, или как здесь, тригонометрическая функция и парабола – применяем метод мажорант. Такое сочетание несочетаемого – намек на этот метод.

Наименьшее значение левой части – ноль. В то же время наибольшее значение правой части – тоже ноль. То есть обе части равны нулю, значит, $x=1$.

Ответ: $x=1$.