"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 4

Задача 18.

Решите уравнение:

$$\arcsin (x) \cdot \arccos (x)=\frac{\pi^2}{18}$$

Решение:

$$\arcsin (x) \cdot \left(\frac{\pi}{2}-\arcsin (x)\right) =\frac{\pi^2}{18}$$

$$\frac{\pi}{2}\arcsin (x)- \arcsin^2 (x) =\frac{\pi^2}{18}$$

Замена: $t=\arcsin (x)$,

$$t^2-\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi^2}{18}=0$$

$$D=\frac{\pi^2}{4}-4\cdot\frac{\pi^2}{18}=\frac{\pi^2}{36}$$

Корни:

$$t=\frac{\frac{\pi}{2}\pm \frac{\pi}{6}}{2}$$

$$t=\frac{\pi}{3}$$

$$t=\frac{\pi}{6}$$

Обратная замена:

$$x=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x=\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$$

Ответ: $\{\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \}$

Задача 19.

Решите уравнение:

$$\arcsin (2x-15)= \arcsin (x^2-6x-8)$$

$$2x-15= x^2-6x-8$$

$$ x^2-8x+7=0$$

Так как

$$-1 \leqslant 2x-15 \leqslant 1$$

$$14 \leqslant 2x \leqslant 16$$

$$7\leqslant x \leqslant 8$$

Поэтому корень один: $x=7$.

Ответ: $x=7$.

Задача 20.

Решите уравнение:

$$\arccos(4x^2-3x-2)+\arccos(3x^2-8x-4)=\pi$$

$$\arccos(4x^2-3x-2)= \pi-\arccos(3x^2-8x-4)$$

$$\arccos(4x^2-3x-2)= \arccos(-3x^2+8x+4)$$

$$4x^2-3x-2=-3x^2+8x+4$$

$$7x^2-11x-6=0$$

Корни этого уравнения $x_1=2;\ \ \ \ x_2=-\frac{3}{7}$

Выберем те, которые не являются посторонними:

$$-1\leqslant 4x^2-3x-2\leqslant 1$$

Получаем систему:

$$4x^2-3x-3\leqslant 0$$

$$4x^2-3x-1\geqslant 0$$

Решение первого неравенства

$$\frac{3-\sqrt{57}}{8}\leqslant x \leqslant \frac{3+\sqrt{57}}{8}$$

Решение второго: $x \in (-\infty;-\frac{1}{4}] \cup [1; \infty)$. Таким образом, в область, являющуюся решением системы неравенств, попадает корень $x_2=-\frac{3}{7}$.

 Ответ: $x=-\frac{3}{7}$.

Задача 21.

Решите уравнение.

$$\operatorname{arctg} (\frac{x}{2})+\operatorname{arctg} (\frac{x}{3})=\operatorname{arctg} (x)$$

Берем тангенс от обеих частей.

$$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg} (\frac{x}{2})+\operatorname{arctg} (\frac{x}{3})\right)=x$$

Тангенс суммы раскрываем:

$$\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{3}}{1-\frac{x}{2}\cdot\frac{x}{3}}=x$$

$$\frac{\frac{5x}{6}}{1-\frac{x^2}{6}}=x$$

$$x=-1;\ \ \ \ x=1$$

Ответ: $\{-1; \ \ \ \ 0;\ \ \ \  1\}$.