"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 3

Задача 14.

Решить уравнение.

$$ 2\arcsin^2 (x)-7\arcsin (x)+3=0$$

Решение: ну тут сразу понятно: замена.

$$t=\arcsin x$$

$$2t^2-7t+3=0$$

$$t_1=\frac{1}{2}$$

$$t_2=3$$

Так как $\mid t \mid \leqslant \frac{\pi}{2}$, то $ t=\frac{1}{2}$. Обратная замена:

$$\arcsin x=\frac{1}{2}$$

$$x=\sin (0,5)$$

Ответ: $x=\sin (0,5)$.

Задача 15.

Решить уравнение.

$$ \arcsin^2 (x)-\frac{\pi}{2}\arcsin (x)+\frac{\pi^2}{18}=0$$

Решение. Снова заменим: $t=\arcsin x$.

$$t^2-\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi^2}{18}=0$$

$$D=\frac{\pi^2}{4}-4\frac{\pi^2}{18}=\frac{\pi^2}{36}$$

Корни:

$$t=\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{3}$$

$$t=\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{6}$$

Так как $\mid t \mid \leqslant \frac{\pi}{2}$, то оба корня годятся. Обратная замена:

$$ \arcsin (x)= \frac{\pi}{3}$$

$$x=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$ \arcsin (x)= \frac{\pi}{6}$$

$$x=\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$$

Ответ: $\{\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\}$.

Задача 16.

Решить уравнение.

$$\operatorname{arctg}^2 (x)+ \operatorname{arcctg}^2(x)=\frac{\pi^2}{8}$$

Решение:

$$\operatorname{arctg}^2 (x)+ \left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} (x)\right) ^2=\frac{\pi^2}{8}$$

$$\operatorname{arctg}^2 (x)+\frac{\pi^2}{4}-\pi\operatorname{arctg} (x)+ \operatorname{arctg}^2 (x)=\frac{\pi^2}{8}$$

$$2\operatorname{arctg}^2 (x)-\pi\operatorname{arctg} (x)+ \frac{\pi^2}{8}=0$$

Вводим замену: $\operatorname{arctg} (x)=t$,

$$2t^2-\pi t+ \frac{\pi^2}{8}=0$$

$$D=\pi^2-4\cdot 2\cdot \frac{\pi^2}{8}=0$$

$$t=\frac{\pi}{4}$$

Обратная замена:

$$\operatorname{arctg} (x)= \frac{\pi}{4}$$

$$x=\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}=1$$

Ответ: $x=1$.

Задача 17.

Решите уравнение:

$$12\operatorname{arctg}^2 (\frac{x}{2})=\pi \left(3\pi+5\operatorname{arctg} \frac{x}{2} \right)$$

$$12\operatorname{arctg}^2 (\frac{x}{2})=3\pi^2+5\pi\operatorname{arctg} \frac{x}{2}$$

Вводим замену: $\operatorname{arctg} (\frac{x}{2})=t$,

$$12t^2-5\pi t-3\pi^2=0$$

$$D=25\pi^2+4\cdot 12\cdot 3\pi^2=169\pi^2$$

Корни $t_1=\frac{3\pi}{4}$, $t_2=-\frac{\pi}{3}$. Первый корень – посторонний из-за ограничений арктангенса.

Обратная замена:

$$\operatorname{arctg} (\frac{x}{2})= -\frac{\pi}{3}$$

$$\frac{x}{2}=\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}$$

$$x=-2\sqrt{3}$$

Ответ: $x=-2\sqrt{3}$.