"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 2

Задача 9.

Решите уравнение:

$$\operatorname{arctg}(x+1)- \operatorname{arctg}(x-1)= \operatorname{arctg}(2)$$

Решение: берем тангенс слева и справа. Слева преобразуем тангенс суммы:

$$\operatorname{tg} \left(\operatorname{arctg}(x+1)- \operatorname{arctg}(x-1)\right)= \operatorname{tg} (\operatorname{arctg}(2))$$

$$\frac{x+1+1-x}{1-(x+1)(1-x)}=2$$

$$\frac{1}{1-(x-x^2+1-x)}=1$$

$$\frac{1}{x^2}=1$$

$$x=\pm 1$$

Ответ: $x=1;   x=-1$.

Задача 10.

Решите уравнение:

$$\arcsin x+\arcsin (x\sqrt{3})=\frac{\pi}{2}$$

Решение:

$$\arcsin x=\frac{\pi}{2} -\arcsin (x\sqrt{3})$$

$$\arcsin x=\arccos (x\sqrt{3})$$

Теперь уже легко, пользуемся соотношением 1: если $ \arcsin f(x)= \arccos g(x)$, то $f^2(x)+g^2(x)=1$.

$$x^2+3x^2=1$$

$$4x^2=1$$

$$x=\frac{1}{2}$$

Ответ: $x=\frac{1}{2}$.

Задача 11.

Решите уравнение:

$$\arcsin \left(\frac{x}{2}\right)+\arcsin \left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)=\arcsin x$$

Решение. Возьмем синус от обеих частей, и используем формулу суммы синусов: тогда $\sin \alpha=\frac{x}{2}$, а косинус $\cos \alpha=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$, $\sin \beta=\frac{x\sqrt{3}}{2}$, а косинус $\cos \beta=\sqrt{1-\frac{3x^2}{4}}$, и

$$\frac{x}{2}\cdot \sqrt{1-\frac{3x^2}{4}}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=x$$

Вытащим $x$ за скобку и сразу получим первый корень: $x=0$.

$$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{3x^2}{16}}+\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{3x^2}{16}}=1$$

$$\sqrt{4-3x^2}+\sqrt{12-3x^2}=4$$

Возводим в квадрат дважды и получаем

$$(4-3x^2)(12-3x^2)=9x^4$$

$$(4-3x^2)(4-x^2)=3x^4$$

$$16-4x^2-12x^2+3x^4=3x^4$$

$$16x^2=16$$

Ответ: $x=1;  x=-1$. 

Задача 12.

Решить уравнение.

$$\arccos \mid x \mid =\arcsin 2x$$

Решение:

$$\mid x \mid^2+(2x)^2=1$$

$$5x^2=1$$

$$x=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Ответ один, так как графики, во-первых, пересекаются в одной точке, и во вторых, потому что величины с обеих сторон уравнения должны иметь один знак.

Ответ: $x=\frac{1}{\sqrt{5}}$

Задача 13.

Решить уравнение.

$$ \arcsin (x^2+2x)+\frac{\pi}{2}=\arccos x $$

Решение:

$$ \arcsin (x^2+2x)+ \arcsin x + \arccos x =\arccos x $$

$$ \arcsin (x^2+2x)+ \arcsin x = 0 $$

$$ \arcsin (x^2+2x)= \arcsin (-x)$$

$$ x^2+2x=-x$$

$$x(x+3)=0$$

Подходит только $x=0$, так как $\mid x \mid \leqslant 1$.

Ответ: $x=0$.