"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений

Задача 5.

Решите уравнение:

$$\arcsin (3x-1)+2\operatorname{arctg}(4x)=\arccos(1-3x)$$

Решение:

$$2\operatorname{arctg}(4x)= \arccos(1-3x)+ \arcsin (1-3x)$$

$$2\operatorname{arctg}(4x)= \frac{\pi}{2}$$

$$\operatorname{arctg}(4x)= \frac{\pi}{4}$$

$$4x=\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1$$

$$x=0,25$$

Так как

$$-1\leqslant 3x-1\leqslant 1$$

$$0\leqslant 3x\leqslant 2$$

$$0\leqslant x\leqslant \frac{2}{3}$$

То найденный корень вполне гож.

Ответ: $x=0,25$.

Задача 6.

Решите уравнение:

$$\arcsin x+\arccos(x-1)=\pi$$

Решение:

$$\arcsin x=\pi-\arccos(x-1)$$

$$\arcsin x=\arccos(x-1)$$

Применяем первое из соотношений для решения уравнений: если $ \arcsin f(x)= \arccos g(x)$, то $f^2(x)+g^2(x)=1$.

$$x^2+(1-x)^2=1$$

$$x^2+1-2x+x^2=1$$

$$2x^2-2x=0$$

Ответ: $x=0$ или $x=1$.

Задача 7.

Решите уравнение:

$$\arcsin x=\operatorname{arctg}(x)$$

Применим пятое соотношение: если $ \arcsin f(x)= \operatorname{arctg} g(x)$, то $f^2(x)=\frac{ g^2(x)}{g^2(x)+1}$.

$$x^2=\frac{1}{x^2+1}$$

$$x^4+x^2-1=0$$

$$x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$

Ответ: $x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$

Задача 8.

Решите уравнение:

$$\arcsin x=2\operatorname{arctg}(x)$$

Решение: пусть $x=\operatorname{tg} y$, $y \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) $. Тогда

$$\arcsin x= 2y$$

$$\sin(\arcsin x)=\sin 2y$$

$$x=\sin 2y$$

А теперь – универсальная тригонометрическая подстановка:

$$x=\frac{2\operatorname{tg}(y)}{1+\operatorname{tg^2}(y)}$$

Заменим $ \operatorname{tg} y =x $:

$$x=\frac{2x}{1+x^2}$$

$$x+x^3=2x$$

$$x(x^2-1)=0$$

Ответ: $x=0, x=1, x=-1$.

Если вы не помните формул универсальной тригонометрической подстановки, то это совсем не беда. Вернемся к нашей задаче:

$$x=\sin 2y=2\sin y \cos y$$

Пусть есть такой угол, что $\operatorname{tg} \frac{\varphi}{2}=x$. Нарисуем прямоугольный треугольник с таким углом:

Его гипотенуза равна $\sqrt{1+x^2}$, таким образом

$$\sin \frac{\varphi}{2}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$

$$\cos \frac{\varphi}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

Откуда и имеем

$$x=2\cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

Вот и получается

$$x=\frac{2x}{1+x^2}$$

Далее стандартно.

Ответ: $x=0, x=1, x=-1$.