"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение неравенств - 3

Задача 8.

Решите неравенство:

$$\operatorname{arctg}(3x)- \operatorname{arcctg}(3x)>0$$

Как при решении уравнений, используем следующее:

$$9x^2-1>0$$

$$(x-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3})>0$$

Решение этого неравенства - $(-\infty; -\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3}; \infty)$. Так как $x>0$, то решение всего неравенства - $(\frac{1}{3}; \infty)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; \infty)$.

Аналогично решается неравенство

$$\operatorname{arctg}(x)- \operatorname{arcctg}(x)>0$$

$$x^2-1>0$$

$$(x-1)(x+1)>0$$

Решение этого неравенства - $(-\infty; -1)\cup (1; \infty)$. Так как $x>0$, то решение всего неравенства - $(1; \infty)$.

Ответ: $(1; \infty)$.

Задача 9.

Решите неравенство.

$$\operatorname{arctg}(x)>-\frac{\pi}{6}$$

$$x>\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$

$$x>-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Ответ: $x>-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Задача 10.

Решите неравенство:

$$\arccos \frac{2}{1-x}\leqslant \frac{\pi}{2}$$

$$\frac{2}{1-x}\geqslant \cos \frac{\pi}{2}$$

$$\frac{2}{1-x}\geqslant 0$$

По методу интервалов решение $(-\infty; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

Задача 11.

Решите неравенство:

$$\arccos \frac{2x}{x^2+1}\geqslant \frac{\pi}{2}$$

$$\frac{2x}{x^2+1}\leqslant 0$$

Решение: $(-\infty; 0]$.

Задача 12.

Решите неравенство:

$$2\arcsin x\geqslant \arccos 3x$$

 Пусть $\arcsin x =y$, $\sin y=x$.

$$\arccos 3x \leqslant 2y$$

$$3x \geqslant \cos 2y$$

$$3x \geqslant 1-2\sin^2 y=1-2x^2$$

$$2x^2+3x-1\geqslant 0$$

Корни $x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{4}$.

Так как $-1\leqslant 3x \leqslant 1$, то $x\geqslant  -\frac{1}{3}$ и $x\leqslant \frac{1}{3}$. Поэтому решение неравенства с учетом ограничений $[ \frac{-3+\sqrt{17}}{4}; \frac{1}{3}]$.

Ответ: $[ \frac{-3+\sqrt{17}}{4}; \frac{1}{3}]$.