"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение неравенств - 2

Задача 4.

Решите неравенство.
$$\arccos^2 x-3\arccos x+2\geqslant 0$$

Введем обозначение $t=\arccos x$, тогда

$$t^2-3t+2\geqslant 0$$

Решением которого будет $t \in (-\infty; \ \ \ \1]\cup [2;\ \ \ \ \infty)$. Но нужно наложить ограничения на $t$: $0\leqslant t \leqslant \pi$. Поэтому окончательно $t \in [0;\ \ \ \1]\cup [2;\ \ \ \ \pi]$.

$$\begin{Bmatrix}{0\leqslant \arccos x \leqslant 1}\\{ 2\leqslant \arccos x \leqslant \pi}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\cos 0\geqslant x \geqslant \cos 1}\\{ \cos 2\geqslant x \geqslant \cos(\pi)}\end{matrix}$$

Или, по-человечески,

$$\begin{Bmatrix}{\cos 1\leqslant x \leqslant 1}\\{ -1\leqslant x \leqslant \cos 2}\end{matrix}$$

Ответ: $x \in [-1;\ \ \ \ \cos 2]\cup [\cos 1; \ \ \ \ 1]$.

Задача 5.

Решите неравенство.

$$2\arcsin \frac{x}{2}\leqslant \frac{\pi}{3}$$

$$\arcsin \frac{x}{2}\leqslant \frac{\pi}{6}$$

$$\arcsin \frac{x}{2}\leqslant \arcsin\frac{1}{2}$$

Функция арксинуса – возрастающая, поэтому

$$\frac{x}{2}\leqslant\frac{1}{2}$$

$$x \leqslant 1$$

Ограничения:

$$-1 \leqslant \frac{x}{2}\leqslant 1$$

$$-2 \leqslant x\leqslant 2$$

В итоге решение неравенства с учетом ограничений $x \in [-2;\ \ \ \  1]$.

Ответ: $x \in [-2;\ \ \ \ 1]$.

Задача 6.

Решите неравенство.

$$2\arccos \frac{x}{2}\geqslant \frac{\pi}{2}$$

$$\arccos \frac{x}{2}\geqslant \frac{\pi}{4}$$

Арккосинус убывает, поэтому знак меняем:

$$\frac{x}{2}\leqslant \cos\frac{\pi}{4}$$

$$\frac{x}{2}\leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$ x \leqslant \sqrt{2}$$

Ограничения:

$$-1\leqslant \frac{x}{2}\leqslant 1$$

$$-2\leqslant x \leqslant 2$$

Решение неравенства с учетом ограничений: $x \in [-2;\ \ \ \ \sqrt{2}]$.

Задача 7.

Решите неравенство:

$$\arccos (x^2-4x+3)> \frac{\pi}{2}$$

$$x^2-4x+3<\cos \frac{\pi}{2}$$

$$x^2-4x+3<0$$

Решение на ладони: $x \in (1;3)$, наложим ограничения:

$$-1\leqslant x^2-4x+3 \leqslant 1$$

$$\begin{Bmatrix}{x^2-4x+2\leqslant 0}\\{ x^2-4x+4\geqslant 0}\end{matrix}$$

Второе неравенство выполняется всегда, а первое имеет решение $x \in [2-\sqrt{2};\ \ \ \ 2+\sqrt{2}]$. Значит, наши ограничения - $x \in [2-\sqrt{2};\ \ \ \ 2+\sqrt{2}]$. Ранее найденное решение входит в ОДЗ полностью.

Ответ: $x \in (1;3)$