"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение неравенств - 1

Задача 1.

Решите неравенство.

$$\arcsin (x)\leqslant \arccos(1-x)$$

Решение. Введем функцию

$$f(x)= \arcsin (x)- \arccos(1-x)$$

Определим $D(f)$:

$$\begin{Bmatrix}{ \mid x \mid \leqslant 1}\\{\mid 1-x \mid \leqslant 1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{-1 \leqslant x \leqslant 1}\\{-1 \leqslant 1-x  \leqslant 1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{-1 \leqslant x \leqslant 1}\\{-2 \leqslant -x  \leqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{-1 \leqslant x \leqslant 1}\\{0 \leqslant x  \leqslant 2}\end{matrix}$$

Решение этой системы - $x\in [0;\ \ \ \ 1]$. На этом отрезке $\arcsin (x)$ изменяется от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, а $\arccos(1-x)$ - от $0$ до $-\frac{\pi}{2}$, то есть значения функции все в отрицательной области. Например, при $x=\frac{1}{2}$ $\arcsin (\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}$, а $\arccos(1-\frac{1}{2})=\frac{\pi}{3}$.

Определим нули функции:

$$x^2+(1-x)^2=1$$

$$2x^2-2x=0$$

$$x=0;\ \ \ \ x=1$$.

 Таким образом, везде на ОДЗ выполняется неравенство и ответ – ОДЗ.

Ответ: $x\in [0;\ \ \ \ 1]$.

Задача 2.

Решите неравенство.

$$\arccos(x^2-3x)>\frac{\pi}{3}$$

$$\arccos(x^2-3x)>\arccos(\cos \frac{\pi}{3})$$

Так как арккосинус – функция убывающая, то

$$ x^2-3x<\cos \frac{\pi}{3}$$

$$ x^2-3x<\frac{1}{2}$$

Обычное квадратное неравенство, разве что корни – не очень:

$$ x^2-3x-\frac{1}{2}<0$$

$$D=11$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{11}}{2}$$

Расставляем корни, знаки интервалов – решение неравенства между корнями, т.е. $x \in \left(\frac{3-\sqrt{11}}{2};\ \ \ \ \frac{3+\sqrt{11}}{2} \right)$. Осталось определить ОДЗ и наложить ее ограничения на найденное решение.

$$\mid x^2-3x \mid \leqslant 1$$

$$\begin{Bmatrix}{x^2-3x-1 \leqslant 0}\\{ x^2-3x+1 \geqslant 0}\end{matrix}$$

У первого решение - $x\in \left[\frac{3-\sqrt{13}}{2};\ \ \ \ \frac{3+\sqrt{13}}{2} \right]$.

У второго решение $ x\in \left(-\infty; \ \ \ \ \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right]\cup \left[\frac{3+\sqrt{5}}{2};\ \ \ \ \infty \right)$.

Решение системы, определяющей ОДЗ: $ x\in \left[\frac{3-\sqrt{13}}{2};\ \ \ \ \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right]\cup \left[\frac{3+\sqrt{5}}{2};\ \ \ \ \frac{3+\sqrt{13}}{2} \right]$.

Накладываем эту область на найденное решение, получаем окончательное решение неравенства: $ x\in \left(\frac{3-\sqrt{11}}{2};\ \ \ \ \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right]\cup \left[\frac{3+\sqrt{5}}{2};\ \ \ \ \frac{3+\sqrt{11}}{2} \right)$.

Ответ: $ x\in \left(\frac{3-\sqrt{11}}{2};\ \ \ \ \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right]\cup \left[\frac{3+\sqrt{5}}{2};\ \ \ \ \frac{3+\sqrt{11}}{2} \right)$.

Задача 3.

Решите неравенство.
$$\arcsin 2x\geqslant x$$

$$\arcsin 2x\geqslant \arcsin(\sin x)$$

Синус от обеих частей:

$$2x\geqslant \sin x$$

Если $x \geqslant 0$, это выполняется везде (легко набросать два графика), где существует функция $f(x)= \arcsin 2x - x$, а ее $D(f)$ - $x \in [-\frac{1}{2};\ \  \frac{1}{2}]$. Таким образом, решение неравенства $x \in [0; \frac{1}{2}]$.

Ответ: $x \in [0; \frac{1}{2}]$.