Простая физика
Тригонометрия
Категория:
ТригонометрияНестандартные задачи по тригонометрии (из экзамена Профи для учителей)
Задача 1.
Вычислить $\arcsin(\cos 5)$.
Решение.
$$\arcsin(\cos 5)=\arcsin(\cos (2\pi-5))$$
Используем следующее: $\arcsin \alpha+\arccos(\alpha)=\frac{\pi}{2}$, тогда $\arcsin \alpha=\frac{\pi}{2}-\arccos(\alpha)$.
У нас
$$\arcsin(\cos (2\pi-5))= \frac{\pi}{2}-\arccos(\cos (2\pi-5))= \frac{\pi}{2}-2\pi+5=5-\frac{3\pi}{2}$$
Ответ: $\arcsin(\cos 5)= 5-\frac{3\pi}{2}$
Задача 2.
Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой $x\sin 165^{\circ}+y\cos 165^{\circ}=1$.
Решение. Представим данное уравнение прямой в виде:
$$y=\frac{1}{\cos 165^{\circ}}-x\operatorname {tg}165^{\circ}$$
Коэффициент наклона данной прямой - $k=-\operatorname {tg}165^{\circ}$. У...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрические уравнения с параметром - 3
Решим несколько задач с параметрами. Все эти задачи будут тригонометрическими уравнениями с параметрами.
Задача 1. Решите уравнение:
$$\mid \sin x \mid =2-a$$
Так как $\sin x$ функция ограниченная, то правая часть изменяется от 0 до 1. Переберем все возможные значения $a$.
При $a=2$ имеем
$$\sin x=0$$
У этого уравнения решение $x=\pi...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрические уравнения с параметром - 2
Задача 1.
При каких значениях параметра $a$ множества решений уравнений $4\cos^2 x=a^2-6$ и $1-\cos 2x=\frac{a}{6}$ совпадают?
Решение. Рассмотрим первое уравнение.
$$4\cos^2 x-2=a^2-8$$
$$2\cos 2x=a^2-8$$
$$\cos 2x=\frac{a^2-8}{2}$$
Рассмотрим второе уравнение.
$$\cos 2x=1-\frac{a}{6}$$
Приравняем правые части при равных левых:
$$\frac{a^2-8}{2}=1-\frac{a}{6}$$
$$a^2-8=2-\frac{a}{3}$$
$$a^2-10+\frac{a}{3}=0$$
$$D=\frac{361}{9}$$
Корни $a=3$, $a=-\frac{10}{3}$. Это – претенденты на ответы. Их надо обязательно проверить.
Если у уравнений нет решений...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрические уравнения с параметром - 1
Задача 1.
При каких значениях параметра $a$ уравнения $\sin 2x(\sin2x-1)=0$ и $(a+3)\sin^2 2x-\sin 2x\cdot \cos 4x-(a+4)\sin 2x=0$ равносильны?
Решение. Первое уравнение имеет корни, даваемые при решении уравнений $\sin 2x=0$ и $\sin 2x=1$. Мы их запишем и отложим пока, не будем решать. А посмотрим, какие решения у...
Категория:
ТригонометрияТригонометрические неравенства - 5
Задача 17.
Решите неравенство:
$$\cos^2 x-\sin^2 2x \geqslant 0$$
Решение.
$$\cos^2 x-4\sin^2 x \cos^2 x \geqslant 0$$
$$\cos^2 x(1-4\sin^2 x) \geqslant 0$$
Во-первых, ${\frac{\pi}{2}+\pi n}$. Во-вторых, $1-4\sin^2 x \geqslant 0$, то есть $x \in [-\frac{\pi}{6}+\pi n; \frac{\pi}{6}+\pi n]$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6}+\pi n; \frac{\pi}{6}+\pi n] \cup \{\frac{\pi}{2}+\pi n\}, n \in Z$
Категория:
ТригонометрияТригонометрические неравенства - 4
Задача 13.
Решите неравенство:
$$\sqrt{3}\sin x \leqslant \cos x$$
Решение:
$$\sqrt{3}\sin x - \cos x \leqslant 0$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x -\frac{1}{2} \cos x \leqslant 0$$
$$\sin (x-\frac{\pi}{6})\leqslant 0$$
Тогда
$$-\pi \leqslant x-\frac{\pi}{6}\leqslant 0$$
$$-\frac{5\pi}{6} \leqslant x\leqslant \frac{\pi}{6}$$
Ответ: $-\frac{5\pi}{6} \leqslant x\leqslant \frac{\pi}{6}$
Задача 14.
Решите неравенство:
$$5\cos x(\sin x+\cos x)>\cos^2 x-\sin^2 x$$
Решение:
$$5\cos x\sin x+5\cos^2 x>\cos^2 x-\sin^2 x$$
$$4\cos^2...
Категория:
ТригонометрияТригонометрические неравенства - 3
Задача 9.
Решите неравенство:
$$\sin x+\cos x \geqslant 1$$
Решение. Воспользуемся дополнительным углом, для этого разделим на $\sqrt{2}$.
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right) \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Решение этого неравенства - $\frac{\pi}{4}+2\pi n\leqslant \frac{\pi}{4}+x \leqslant \frac{3\pi}{4}+ 2\pi...
Категория:
ТригонометрияТригонометрические неравенства - 2
Задача 5.
Решите неравенство:
$$2\sin^2 x+\sin x>0$$
Решение. Замена $t=\sin x$.
$$t<-\frac{1}{2};\ \ \ \ t>0$$
Но лучше, конечно, записать так:
$$\begin{Bmatrix}{\sin x >0}\\{\sin x <-\frac{1}{2}}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{2\pi n< x <\pi+2\pi n}\\{-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n}\end{matrix}$$
Ответ: $x \in (2\pi n; \pi+2\pi...
Категория:
ТригонометрияТригонометрические неравенства - 1
Задача 1.
Решите неравенство:
$$2\sin \frac{x}{2}\leqslant -1$$
Решение.
$$\sin \frac{x}{2}\leqslant -\frac{1}{2}$$
Поэтому
$$-\frac{5\pi}{6}+2 \pi k \leqslant \frac{x}{2} \leqslant -\frac{\pi}{6}+ 2\pi k$$
$$-\frac{5\pi}{3}+4 \pi k\leqslant x \leqslant -\frac{\pi}{3}+4\pi k$$
Ответ: $-\frac{5\pi}{3}+4 \pi k\leqslant x \leqslant -\frac{\pi}{3}+4\pi k;\ \ \ \ ...
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение неравенств - 3
Задача 8.
Решите неравенство:
$$\operatorname{arctg}(3x)- \operatorname{arcctg}(3x)>0$$
Как при решении уравнений, используем следующее:
$$9x^2-1>0$$
$$(x-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3})>0$$
Решение этого неравенства - $(-\infty; -\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3}; \infty)$. Так как $x>0$, то решение всего неравенства - $(\frac{1}{3}; \infty)$.
Ответ: $(\frac{1}{3}; \infty)$.
Аналогично решается неравенство
$$\operatorname{arctg}(x)- \operatorname{arcctg}(x)>0$$
$$x^2-1>0$$
$$(x-1)(x+1)>0$$
Решение этого неравенства - $(-\infty; -1)\cup (1; \infty)$. Так как $x>0$, то решение всего...
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение неравенств - 2
Задача 4.
Решите неравенство. $$\arccos^2 x-3\arccos x+2\geqslant 0$$
Введем обозначение $t=\arccos x$, тогда
$$t^2-3t+2\geqslant 0$$
Решением которого будет $t \in (-\infty; \ \ \ \1]\cup [2;\ \ \ \ \infty)$. Но нужно наложить ограничения на $t$: $0\leqslant t \leqslant \pi$. Поэтому окончательно $t \in [0;\ \ \...
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение неравенств - 1
Задача 1.
Решите неравенство.
$$\arcsin (x)\leqslant \arccos(1-x)$$
Решение. Введем функцию
$$f(x)= \arcsin (x)- \arccos(1-x)$$
Определим $D(f)$:
$$\begin{Bmatrix}{ \mid x \mid \leqslant 1}\\{\mid 1-x \mid \leqslant 1}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{-1 \leqslant x \leqslant 1}\\{-1 \leqslant 1-x \leqslant 1}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{-1 \leqslant x \leqslant 1}\\{-2 \leqslant -x \leqslant 0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{-1 \leqslant x \leqslant 1}\\{0 \leqslant x \leqslant 2}\end{matrix}$$
Решение...
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 8
Задача 34.
Решите уравнение.
$$2\arcsin (x)=\arcsin(x\sqrt{2})$$
Решение. Пусть $\arcsin (x)=y,\ \ \ \ \sin y=x$.
$$2y=\arcsin(x\sqrt{2})$$
$$\sin 2y= x\sqrt{2}$$
Раскрываем синус двойного угла:
$$2\sin y \cos y= x\sqrt{2}$$
Если $\sin y=x$, то $\cos y=\sqrt{1-x^2}$. Подставляем:
$$2x\cdot \sqrt{1-x^2}= x\sqrt{2}$$
$$x\sqrt{2} \left(\sqrt{2(1-x^2)}-1\right)=0$$
Либо $x=0$, либо $x^2=\frac{1}{2}$, $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\{0;\ \ \ \ \frac{\sqrt{2}}{2}; \ \ \ \...
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 7
Задача 30.
Решите уравнение.
$$2\arcsin (x)+ \arccos (2x)=\frac{6\pi}{7}$$
Решение. Угол уж больно неудобный. Есть подозрение, что решений нет. Исследуем функцию слева: она на отрезке от нуля до $\frac{1}{2}$ убывающая, максимум имеет в нуле, и этот максимум - $\frac{\pi}{2}$, что меньше, чем $\frac{6\pi}{7}$.
Ответ: решений нет.
Задача 31.
Решите уравнение.
$$\arccos...
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 6
Задача 26.
Решите уравнение.
$$\arcsin (2x)=3\arcsin (x)$$
$$\sin(\arcsin (2x))=\sin(3\arcsin (x))$$
$$2x=\sin(3\arcsin (x))$$
Пусть $\alpha=\arcsin (x)$, $\sin \alpha =x$. Тогда
$$\sin (3\alpha)=3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha=3x-4x^3$$
$$2x=3x-4x^3$$
$$x(4x^2-1)=0$$
Корни $\{0; \ \ \ \ \frac{1}{2}; \ \ \ \ -\frac{1}{2}\}$, все они подходят.
Ответ: $\{0; \ \ \ \ \frac{1}{2}; \ \ \ \ -\frac{1}{2}\}$
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 5
Задача 22.
Решите уравнение.
$$\arcsin (x^2-2x)=\arccos \sqrt{1-x^2}$$
Применяем стандартный прием:
$$(x^2-2x)^2+(1-x^2)=1$$
$$(x^2-2x)^2-x^2=0$$
Раскроем разность квадратов:
$$(x^2-2x-x)(x^2-2x+x)=0$$
$$(x^2-3x)(x^2-x)=0$$
Корни ${1,\ \ \ \3,\ \ \ \0}$, но некоторые – посторонние. Так как $-1\leqslant x^2-2x\leqslant 1$, то корнем является только 1.
Ответ: 1
Задача 23.
Решите уравнение.
$$\arcsin (1+2\cos x)+\arccos(1+ 3\operatorname{tg}x)=\frac{\pi}{2}$$
$$\arcsin (1+2\cos x)= \frac{\pi}{2}-\arccos(1+ 3\operatorname{tg}x)$$
$$\sin(\arcsin (1+2\cos x))=\sin \left(...
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 4
Задача 18.
Решите уравнение:
$$\arcsin (x) \cdot \arccos (x)=\frac{\pi^2}{18}$$
Решение:
$$\arcsin (x) \cdot \left(\frac{\pi}{2}-\arcsin (x)\right) =\frac{\pi^2}{18}$$
$$\frac{\pi}{2}\arcsin (x)- \arcsin^2 (x) =\frac{\pi^2}{18}$$
Замена: $t=\arcsin (x)$,
$$t^2-\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi^2}{18}=0$$
$$D=\frac{\pi^2}{4}-4\cdot\frac{\pi^2}{18}=\frac{\pi^2}{36}$$
Корни:
$$t=\frac{\frac{\pi}{2}\pm \frac{\pi}{6}}{2}$$
$$t=\frac{\pi}{3}$$
$$t=\frac{\pi}{6}$$
Обратная замена:
$$x=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x=\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$$
Ответ: $\{\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \}$
Задача 19.
Решите уравнение:
$$\arcsin (2x-15)= \arcsin (x^2-6x-8)$$
$$2x-15= x^2-6x-8$$
$$ x^2-8x+7=0$$
Так как
$$-1 \leqslant 2x-15 \leqslant 1$$
$$14 \leqslant 2x \leqslant 16$$
$$7\leqslant x \leqslant...
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 3
Задача 14.
Решить уравнение.
$$ 2\arcsin^2 (x)-7\arcsin (x)+3=0$$
Решение: ну тут сразу понятно: замена.
$$t=\arcsin x$$
$$2t^2-7t+3=0$$
$$t_1=\frac{1}{2}$$
$$t_2=3$$
Так как $\mid t \mid \leqslant \frac{\pi}{2}$, то $ t=\frac{1}{2}$. Обратная замена:
$$\arcsin x=\frac{1}{2}$$
$$x=\sin (0,5)$$
Ответ: $x=\sin (0,5)$.
Задача 15.
Решить уравнение.
$$ \arcsin^2 (x)-\frac{\pi}{2}\arcsin (x)+\frac{\pi^2}{18}=0$$
Решение. Снова заменим: $t=\arcsin x$.
$$t^2-\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi^2}{18}=0$$
$$D=\frac{\pi^2}{4}-4\frac{\pi^2}{18}=\frac{\pi^2}{36}$$
Корни:
$$t=\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{3}$$
$$t=\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{6}$$
Так как $\mid t \mid \leqslant \frac{\pi}{2}$, то...
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений - 2
Задача 9.
Решите уравнение:
$$\operatorname{arctg}(x+1)- \operatorname{arctg}(x-1)= \operatorname{arctg}(2)$$
Решение: берем тангенс слева и справа. Слева преобразуем тангенс суммы:
$$\operatorname{tg} \left(\operatorname{arctg}(x+1)- \operatorname{arctg}(x-1)\right)= \operatorname{tg} (\operatorname{arctg}(2))$$
$$\frac{x+1+1-x}{1-(x+1)(1-x)}=2$$
$$\frac{1}{1-(x-x^2+1-x)}=1$$
$$\frac{1}{x^2}=1$$
$$x=\pm 1$$
Ответ: $x=1; x=-1$.
Задача 10.
Решите уравнение:
$$\arcsin x+\arcsin (x\sqrt{3})=\frac{\pi}{2}$$
Решение:
$$\arcsin x=\frac{\pi}{2} -\arcsin (x\sqrt{3})$$
$$\arcsin x=\arccos (x\sqrt{3})$$
Теперь уже легко, пользуемся соотношением 1: если $ \arcsin f(x)= \arccos g(x)$, то $f^2(x)+g^2(x)=1$.
$$x^2+3x^2=1$$
$$4x^2=1$$
$$x=\frac{1}{2}$$
Ответ:...
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Решение уравнений
Задача 5.
Решите уравнение:
$$\arcsin (3x-1)+2\operatorname{arctg}(4x)=\arccos(1-3x)$$
Решение:
$$2\operatorname{arctg}(4x)= \arccos(1-3x)+ \arcsin (1-3x)$$
$$2\operatorname{arctg}(4x)= \frac{\pi}{2}$$
$$\operatorname{arctg}(4x)= \frac{\pi}{4}$$
$$4x=\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1$$
$$x=0,25$$
Так как
$$-1\leqslant 3x-1\leqslant 1$$
$$0\leqslant 3x\leqslant 2$$
$$0\leqslant x\leqslant \frac{2}{3}$$
То найденный корень вполне гож.
Ответ: $x=0,25$.
Задача 6.
Решите уравнение:
$$\arcsin x+\arccos(x-1)=\pi$$
Решение:
$$\arcsin x=\pi-\arccos(x-1)$$
$$\arcsin x=\arccos(x-1)$$
Применяем первое из соотношений для решения уравнений: если $ \arcsin f(x)= \arccos g(x)$, то $f^2(x)+g^2(x)=1$.
$$x^2+(1-x)^2=1$$
$$x^2+1-2x+x^2=1$$
$$2x^2-2x=0$$
Ответ: $x=0$ или $x=1$.
Категория:
Тригонометрия"Арки" - обратные тригонометрические функции. Теория и уравнения
В этой статье рассмотрим свойства обратных тригонометрических функций и будем решать уравнения с ними. Сначала – немного теории. Первая функция - арксинус:
$$y=\arcsin x$$
Функция возрастающая, $D(f) \in [-1; 1]$
Функция нечетная:
$$\arcsin(-x)=-\arcsin x$$
Область значений
$$E(\arcsin (x))=[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} ]$$
Вторая...
Категория:
ТригонометрияДва интересных тригонометрических уравнения
Сегодня решим пару тригонометрических уравнений, вид которых несколько непривычен рядовому школьнику.
Задача 1.
Решить уравнение:
$$2\arcsin{2x}=\arccos{7x}$$
Для того, чтобы уравнение потеряло свой «страшный» вид, введем обозначения:
$$\sin{\alpha}=2x$$
$$\cos{\beta}=7x$$
Помним, что аргумент функции $\arcsin {y}$ изменяется от (-1) до (1), как и аргумент функции $\arccos {y}$. Поэтому $2x \in (-1;1)$, $7x...
Категория:
Уравнения (13)Тригонометрические уравнения - задание 13 профильного ЕГЭ
1. Решить уравнение.
$$4 \cos^2 {3x}-4 \cos(3x-\frac{\pi}{2})-1=0$$
Решение: преобразуем косинус разности:
$$4 \cos^2 {3x}-4 (\cos3x \cdot \cos(\frac{\pi}{2})+\sin3x \cdot \sin(\frac{\pi}{2}))-1=0$$
$$4 \cos^2 {3x}-4 \sin3x -1=0$$
По формуле основного тригонометрического тождества:
$$4-4 \sin^2 {3x}-4 \sin 3x -1=0$$
$$4 \sin^2 {3x}+4 \sin 3x -3=0$$
Получили квадратное уравнение относительно $\sin 3x$. Его корни:
$$\sin 3x=-1,5$$
Либо
$$\sin 3x=0,5$$
Первый корень –...
Категория:
Уравнения (13)Тригонометрические уравнения 5
//
//
Задание 1. Решите уравнение:
$$ \cos^2 x+\sin^4 x=1$$
Категория:
Уравнения (13)Тригонометрические уравнения 4. Тренируемся решать и выбирать корни
//
//
Рассмотрим сегодня несколько тригонометрических уравнений.
Задание 1. Решить уравнение:
$$\sqrt{1+\sin...
Категория:
Уравнения (13)Тригонометрические уравнения 3
При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:
1) Уравнение содержит тангенс или котангенс;
2) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
3) Обе части уравнения возводятся в квадрат.
При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:
1) Обе части уравнения умножаются или делятся на...
Категория:
Уравнения (13)Тригонометрические уравнения 2
//
//
В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести...
Категория:
Уравнения (13)Тригонометрические уравнения 1
//
//
В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести...
Категория:
10-11 классРасчет обратных тригонометрических функций
//
//
Здравствуйте, читатели! Знакомимся мы с вами сегодня с обратными тригонометрическими функциями. Мы узнаем, что такое арксинусы, арккосинусы и арктангенсы – арккотангенсы, и...