Прогрессии: задачи для продвинутых

Прогрессия – благодатная тема. Придумать задач можно великое множество, причем разной сложности, смешать в задаче и арифметическую, и геометрическую прогрессии. Представляю вашему вниманию задачи, которые, по мнению авторов, относятся к уровню В. Но на мой взгляд, задачи довольно сложные – для сильного ученика.

Задача 1.

При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 7; при делении десятого члена прогрессии на ее пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найдите двадцатый член этой прогрессии.

Запишем условия:

$$\frac{a_9}{a_2}=7$$

$$a_{10}=2a_5+5$$

Теперь распишем члены прогрессии через первый член и разность прогрессии:

$$a_9=a_1+8d$$

$$a_2=a_1+d$$

$$a_{10}=a_1+9d$$

$$a_5=a_1+4d$$

И подставим в наши уравнения:

$$a_9=7a_7$$

$$ a_1+8d=7(a_1+d)$$

$$6a_1=d$$

И второе:

$$a_1+9d=2(a_1+4d)+5$$

$$d-5=a_1$$

Откуда

$$6a_1-5=a_1$$

$$a_1=1$$

$$d=6$$

Ответ: $a_1=1$, $d=6$.

Задача 2.

Даны две арифметические прогрессии (11; 15; 19; …), (154; 147; 140; …). Найдите все общие члены этих прогрессий.

Разность первой прогрессии равна 4, второй – 7. Запишем n-ный член для каждой прогрессии:

$$a_{n1}=7+4n$$

$$a_{n2}=161-7m$$

Мы ищем одинаковые члены прогрессий, поэтому приравняем выражения:

$$7+4n=161-7m$$

$$m=22-\frac{4}{7}n$$

Таким образом, подберем значения $n$, кратные 7, чтобы число $m$ было целым: при $n=7$ - $m=18$, при $n=14$ - $m=14$, при $n=21$ - $m=10$, при $n=28$ - $m=6$, при $n=35$ - $m=2$.

Следовательно, общие члены прогрессий

$$161-7m=161-7\cdot18=35$$

$$161-7m=161-7\cdot14=63$$

$$161-7m=161-7\cdot10=91$$

$$161-7m=161-7\cdot6=119$$

$$161-7m=161-7\cdot2=147$$

Ответ: 35, 63, 91, 119, 147.

 

Задача 3.

$a_n$- арифметическая прогрессия. $a_1+a_3+a_5=-12$, $a_1\cdot a_3\cdot a_5=80$. Найдите $a_1$.

Сумму можно представить как

$$a_1+a_3+a_5=a_1+a_1+2d+a_1+4d=3a_1+6d=-12$$

Разделим на 3:

$$ a_1+2d=-4$$

То есть

$$a_3=-4$$

Тогда

$$a_1+a_5=-8$$

$$ a_1\cdot a_5=-20$$

Тогда

$$a_1(-8-a_1)+20=0$$

$$a_1^2+8a_1-20=0$$

$$a_1=-10$$

Или

$$a_1=2$$

Ответ: $a_1=-10$ или $a_1=2$.

 

Задача 4.

Найдите сумму всех чётных трёхзначных чисел, делящихся на 3.

Такие числа обязательно делятся на 6, поэтому образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=6$. Первый член нашей прогрессии, очевидно, 102 – числа 100 и 101 не делятся на 6. Последний член – 996. Определим его номер:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$996=102+6(n-1)$$

$$n=150$$

Теперь можно найти сумму таких чисел:

$$S_{150}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{204+6(150-1)}{2}\cdot150=82350$$

Ответ: 82350.

Задача 5.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $\mid q \mid<1$  равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

По условию

$$S_n=\frac{b_1}{1-q}=4~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Также

$$b_1^3+b_2^3+b_3^3+ \ldots =192$$

Запишем последнее так:

$$b_1^3+b_1^3q^3+b_1^3q^6+\ldots=192$$

$$ b_1^3 (1+q^3+q^6+\ldots)=192$$

В скобках можно заметить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q^3$, тогда

$$ b_1^3\cdot\frac{1}{1-q^3}=192~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

А из самого первого уравнения этой задачи следует, что

$$b_1=4(1-q)$$

Тогда

$$b_1^3=64(1-q)^3$$

Подставим это в (2)

$$64(1-q)^3\frac{1}{1-q^3}=192$$

Откуда, сокращая, получаем

$$(1-q)^2=3(1+q+q^2)$$

Получаем квадратное уравнение

$$2q^2+5q+2=0$$

$$q=-2, q=-\frac{1}{2}$$

Первый корень не подходит по условию, тогда

$$ b_1=4(1-q)=4(1+\frac{1}{2})=6$$

Ответ: $b_1=6, q=-\frac{1}{2}$.

 

Задача 6.

Найдите четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21; а сума средних равна 18.

Дано: $a, b, c, f$

$$a+f=21$$

$$b+c=18$$

Также известно, что

$$b=aq$$

$$c=aq^2$$

$$c=b+d$$

$$f=b+2d$$

Тогда разность арифметической прогрессии может быть найдена как

$$d=c-b=aq^2-aq=aq(q-1)$$

Сумма средних равна

$$aq+aq^2=aq(1+q)=18~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Сумма крайних (с учетом, что $f=c+d=aq^2+d$)

$$a+ aq^2+d=21$$

Подставим разность $d$:

$$a+ aq^2+ aq^2-aq =21$$

Имеем:

$$a(1+2q^2-q)=21~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Разделим теперь (2) на (1):

$$\frac{1+2q^2-q }{ q(1+q)}=\frac{7}{6}$$

Получили квадратное уравнение:

$$12q^2-13q+6=0$$

Корни: $q=2$ или $q=0,6$.

Если $q=2$, то $a=\frac{18}{q(1+q)}=3$

Тогда $b=6$, $c=12$, а $d=21-aq^2-a=21-3\cdot4-3=6$. Следовательно, $f=c+d=12+6=18$.

Если $q=0,6$, то $a=\frac{18}{q(1+q)}=18,75$

Тогда $b=11,25$, $c=6,75$, а $d=21-6,75-18,75=-4,5$. Следовательно, $f=c+d=6,75-4,5=2,25$.

Ответ: 3, 6, 12, 18 или 18,75, 11,25, 6,75, 2,25.

 

 

Задача 7.

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найдите эти числа.

Итак, $a, b, c$ - образуют геометрическую прогрессию, по ее свойствам

$$b=aq_1$$

$$c=aq_1^2$$

Числа $a, b+2, c$ - образуют арифметическую прогрессию. То есть

$$a+d=b+2$$

$$a+2d=c$$

Числа $a, b+2, c+9$ снова образуют геометрическую прогрессию, но знаменатель у нее может быть другим:

$$aq_2=b+2$$

$$aq_2^2=c+9$$

Знаменатель первой геометрической прогрессии

$$q_1=\frac{c}{b}$$

А второй геометрической

$$q_2=\frac{c+9}{b+2}$$

По свойству геометрической прогрессии можно записать:

$$b^2=ac$$

$$a=\frac{b^2}{c}$$

Но вторая геометрическая обладает тем же свойством:

$$(b+2)^2=a(c+9)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$a=\frac{(b+2)^2}{c+9}$$

Приравниваем $a$, полученные таким образом из обоих прогрессий:

$$\frac{b^2}{c}=\frac{(b+2)^2}{c+9}$$

Упрощая это, имеем:

$$b^2(c+9)=(b+2)^2c$$

$$9b^2-4bc-4c=0$$

$$c=\frac{9b^2}{4(b+1)}$$

Тогда

$$a=\frac{b^2}{c}=\frac{b^2}{\frac{9b^2}{4(b+1)}}=\frac{4(b+1)}{9}$$

 

Разность арифметической прогрессии

$$d=b+2-a=b+2-\frac{4(b+1)}{9}=\frac{5b+14}{9}$$

Тогда

$$a+2d=c$$

$$\frac{4(b+1)}{9}+\frac{2(5b+14)}{9}=\frac{9b^2}{4(b+1)}$$

Откуда

$$4(b+1)+2(5b+14)= \frac{81b^2}{4(b+1)}$$

$$4(14b+32)(b+1)=81b^2$$

$$25b^2-184b-128=0$$

$$\frac{D}{4}=92^2+128\cdot25=11664=108^2$$

$$b=\frac{92+108}{25}=8$$

$$b=\frac{92-108}{25}=-0,64$$

В случае, если $b=8$, то $a=\frac{4(b+1)}{9}=4$, $c=\frac{9b^2}{4(b+1)}=16$.

В случае, если $b=-0,64$, то $a=\frac{4(b+1)}{9}=0,16$, $c=\frac{9b^2}{4(b+1)}=2,56$.

Ответ: 4, 8, 16 или 0,16, -0,64, 2,56.

 

Задача 8.

Найдите три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно $\frac{14}{3}$.

$$a\cdot b \cdot c=64$$

$$\frac{a+b+c}{3}=\frac{14}{3}$$

Или $ a+b+c=14$.

По свойству прогрессии

$$b^2=ac$$

$$b^2=\frac{64}{b}$$

Откуда $b=4$.

Тогда

$$a \cdot c=16$$

$$a+c=10$$

Либо $a=2$, $c=8$, либо наоборот, $c=2$, $a=8$.

Ответ: 2, 4, 8 или 8, 4, 2.

Задача 9.

Даны две арифметические прогрессии. Первый и пятый члены первой прогрессии равны соответственно 7 и (-5). У второй прогрессии первый член равен 0, а последний равен 3,5. Найдите сумму членов второй прогрессии, если известно, что третьи члены обеих прогрессий равны между собой.

Так как первый и пятый на одинаковом «расстоянии» от третьего, то выполняется свойство прогрессии:

$$a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=1$$

Таким образом, у второй прогрессии первый член – 0, а третий – 1, значит, второй  - 0,5 и разность тоже 0,5. Следовательно, 3,5 – это восьмой член прогрессии. Осталось сосчитать сумму:

$$S_8=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{0+0,5(8-1)}{2}8=14$$

Ответ: 14.

 

Задача 10.

Найдите сумму всех трёхзначных чисел, делящихся на 7.

Такие числа обязательно делятся на 7, поэтому образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=7$. Первый член нашей прогрессии, очевидно, 105 – числа 100, 101, 102, 103 и 104 не делятся на 7. Последний член – 994. Определим его номер:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$994=105+7(n-1)$$

$$n=128$$

Теперь можно найти сумму таких чисел:

$$S_{128}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{210+7(128-1)}{2}\cdot128=70336$$

Ответ: 70336.

 

 

Задача 11.

Найдите сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $\mid q \mid<1$ , если её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов членов к сумме членов равна $\frac{16}{3}$.

$$b_2=b_1q=4$$

$$\frac{b_1^2+b_2^2+b_3^2+\ldots}{b_1+b_2+b_3+\ldots}=\frac{16}{3}$$

Преобразуем:

$$\frac{b_1^2+b_1^2q^2+b_1^2q^4+\ldots}{b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots}=\frac{16}{3}$$

 

$$\frac{b_1^2(1+q^2+q^4+\ldots)}{b_1(1+q+q^2+\ldots)}=\frac{16}{3}$$

В скобках имеем в числителе – сумму бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем $q^2$, а в знаменателе - сумму бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем $q$. Тогда

$$\frac{b_1\frac{1}{1-q^2}}{\frac{1}{1-q}}=\frac{16}{3}$$

Или

$$\frac{b_1}{1+q}=\frac{16}{3}$$

Но $b_1=\frac{4}{q}$, поэтому

$$3b_1=16(1+q)$$

$$3\cdot\frac{4}{q}=16(1+q)$$

$$4q^2+4q-3=0$$

$q=0,5$ или $q=-1,5$, но по условию проходит меньший 1 по модулю знаменатель – то есть $q=0,5$. Тогда

$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$

$$b_1=\frac{4}{q}=8$$

$$S_7=\frac{8(1-0,5^7)}{1-0,5}=\frac{127}{8}$$

Ответ: $S_7=\frac{127}{8}$.

 

Задача 12.

В геометрической прогрессии с отрицательными членами сумма первых шести членов равна (-504) и $b_1+b_4=-24$. Найдите знаменатель прогрессии.

Запишем обе сумы немного по-другому:

$$b_1+b_1q^3=-24$$

$$b_1(1+q^3)=-24~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3+b_1^4+b_1q^5=-504$$

Теперь еще раз преобразуем последнее:

$$b_1(1+q^3+q^2+q^5+q+q^4)=-504$$

Или

$$b_1((1+q^3)+q^2(1+q^3)+q(1+q^3))=-504$$

$$b_1(1+q^3)(1+q^2+q)=-504~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Разделим (2) на (1)

$$1+q+q^2=21$$

$$q^2+q-20=0$$

Тогда знаменатель либо $q=4$, либо $q=-5$.

Так как по условию члены прогрессии отрицательны, нам подойдет положительный знаменатель.

Ответ: $q=4$.