Арифметическая прогрессия. Задачи на прогрессии.

Всем привет! Сегодня вспоминаем прогрессии. Задачи на прогрессии встречаются как в блоке текстовых задач ЕГЭ (задачи типа В14), так и среди задач ГИА (В4).

Сначала вспомним арифметическую прогрессию и порешаем задачи, связанные с ней. Кому нужна геометрическая - смотри тут.

В любой последовательности каждый элемент должен иметь "адрес", по которому можно было бы этот элемент отыскать. Этот "адрес" - это порядковый номер элемента. Например, понятно, что элемент  - первый, а  - "живет" в сотой "квартире".

Также между номером элемента и его значением есть зависимость. Если последовательность возрастающая, то, чем больше номер "квартиры", тем "толще" жилец, а если убывающая, то наоборот (все это - непостоянные последовательности). Существуют также последовательности, у которых все члены - одинаковы. Такие последовательности называются постоянными последовательностями (например: 5, 5, 5, ...).

Задать последовательность можно по-разному.

Часто встречается такой способ задания: "Дана последовательность 30; 28; 26;..." - по сути, это табличный способ задания. Интуитивно понятно, что 30 здесь - первый член последовательности, и можно сразу "увидеть" разность такой прогрессии - это "расстояние между соседями".

Также задают последовательности формулой n-ного члена, например: . Чтобы найти элемент такой последовательности, нужно подставить нужное n в формулу.

В случае же, когда член последовательности задан с помощью одного или нескольких предыдущих членов, то, чтобы найти этот член последовательности,  необходимо знать и эти предыдущие члены также, то есть нужно как бы  позвонить им в квартиры и спросить адрес их соседа. Такое задание называется рекуррентным от итальянского слова recurro (спешить обратно).Пример: .

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое последующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину, которая называется разностью прогрессии и обозначается

Разность может быть положительной, отрицательной и нулевой. Так как она постоянна, то между соседями "расстояние" будет , а "расстояние" между членами, которые стоят "через одного" - . Отсюда свойство прогрессии:

Понятно, что это свойство относится и к другим членам, отстоящим от "центра" на одинаковое количество номеров:

Найти n-ный член прогрессии просто, если знаешь первый и разность прогрессии. Ведь если вы знаете, где первая квартира в доме, вы легко отыщете сотую, верно?

Еще нужно знать формулу суммы прогрессии. Когда это может понадобиться? Например, население города увеличивается каждый месяц на 1000 жителей. Сколько новых жителей появится в городе через год или два, сколько строить новых школ или поликлиник?

Сумму прогрессии можно найти по формулам:

Ну вот, теперь мы вооружены, можем и задачи порешать попробовать.

1. Дана арифметическая прогрессия: -30;  -24; -18;... Найти сумму первых десяти членов.

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из  (последующего члена)  (предыдущий). (Или из  - ):

.

Теперь воспользуемся формулой для суммы - берем вторую формулу:

Ответ: -30

2. Дана арифметическая прогрессия: 35; 28;21;... Найти сумму членов с 12 по 18 включительно.

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из  (последующего члена)  (предыдущий). (Или из  - ):

.

Теперь найдем сумму 18 первых членов, и вычтем из нее сумму 11 первых членов - тогда останется то, что нам и надо::

Вторая сумма равна 0, поэтому ответ: -441.

3. Арифметическая прогрессия задана условиями: , . Найти  .

Так как между последующим и  предыдущим  членами (из условия) разность равна  3, то это и есть разность прогрессии. По формуле для нахождения n-ного члена определяем  :

Ответ: 38

4. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Какая из них - арифметическая прогрессия?

а) 1; 2; 3; 5;...              б) 1; 2; 4; 8;...                 в) 1; 3; 5; 7;...             г).

Надо выбрать такую последовательность, где разность между соседними членами была бы одинаковой. Первая не подойдет: четвертый член выбивается из общего ряда. Вторая тоже, очевидно, не подойдет: здесь соседние члены отличаются не "на", а "в" - каждый следующий вдвое больше. Третья годится: разность равна 2. Четвертая тоже не подойдет: разность между соседними дробями не одинакова.

Ответ: в)

5. Выписаны несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;... Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

а) 85              б) 73                 в) 117             г) 254.

Конечно, задан первый член и можно определить разность - она равна 3 - но неужели предстоит просчитать каждое число по формуле n-ного  члена, чтобы определить нужное? НЕТ! Все гораздо проще! Заметим, что все члены прогрессии делятся на 3. И разность прогрессии 3, значит, если число входит в прогрессию, то оно тоже должно делиться на три! Вы помните признак делимости на три? Правильно: если сумма чисел делится на три, то и все число делится. Считаем: 8+5=13 - на три не делится; 7+3=10 - не делится; 1+1+7=9 - число 117 делится на три, и является членом прогрессии. 2+5+4=11 - не подходит.

Ответ: в)

6. Арифметические прогрессии заданы формулами n-ного члена:, , . Укажите те из них, у которых разность равна 3.

Просто подставив в каждую формулу 1 и 2 вместо n, посмотрим, какая разность получится между членами прогрессий:

Первая прогрессия отвечает требованию.

Вторая:

Вторая также подойдет.

Третья:

- очевидно, что такая разность нам не подходит.

Ответ: 

7. Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а шестой ее член на 12 больше второго. Найдите разность и первый член данной прогрессии.

Составим уравнения по условиям:

Перепишем второе уравнение:

Теперь можем определить разность:

Перепишем первое уравнение:

Ответ:  

8. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; 10; x; –14; –26; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

По свойству прогрессии неизвестный член равен полусумме своих соседей: . Также можно было найти разность прогрессии и прибавить ее к числу "до" х, или отнять от числа "после".

9. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 50 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

Если число мест в каждом ряду выписать в ряд, получим арифметическую прогрессию. Арифметическую - потому что число мест все время увеличивается на одно и то же число. Понятно, что разность этой прогрессии  2. И вот здесь-то и хочется сказать, что в ряду n число мест , но это неверно! Ведь тогда в первом ряду получается 52 места! Поэтому правильно .

10. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: 35; 27; 19; … . Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

Можно, конечно, найти, на сколько последующий член меньше предыдущего (прогрессия убывающая), то есть разность прогрессии, и затем вычитать последовательно это число до тех пор, пока результат не станет отрицательным.

11. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия 13, 8, 3, ... Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 81-м месте?

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из  (последующего члена)  (предыдущий):

.

Находим 81 член прогрессии:

Ответ: -387

12. Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

"Начиная с 1" - значит, . Натуральные числа - ряд последовательных чисел, отличающихся на 1 - значит, .

Формула суммы прогрессии:   - здесь нам неизвестно число членов прогрессии - n.

Подставим 528 и попробуем определить n:

Получили квадратное уравнение:

Второй корень - отрицательный, его можно даже не считать.

Получается, что сумма 32 членов дает 528, а нам нужно, чтобы сумма была бы меньше - тогда берем 31 член прогрессии.

Ответ: 31.

13. Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии –17; –16; -15; …

Первый член прогрессии . Разность прогрессии .

Формула n-ного члена: . Найдем, сколько таких отрицательных членов у нас получится:

Тогда отрицательных членов 17. Находим их сумму:

Ответ: -153.

14. Руслану надо решить 420 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Руслан решил 13 задач. Определите, сколько задач Руслан решил в последний день, если со всеми задачами он справился за 12 дней.

Сначала разберемся, какие сведения содержит в себе условие. Похоже, фраза "на одно и то же количество задач больше" говорит о том, что мы имеем дело с прогрессией. Общий объем работы, предстоящий Руслану - это сумма прогрессии. 13 задач, решенных в первый день - это первый член нашей прогрессии. Ну и 12 дней, отведенных на это сложное дело - это количество членов прогрессии.

Найти надо количество задач, решенных в последний день - то есть 12 член прогрессии.

- в формуле n-ного члена нам неизвестна разность этой прогрессии. Поэтому воспользуемся суммой:

Находим 12 член прогрессии:

Ответ: 57

15. Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го. Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла в общей слож­но­сти 10 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 150 мет­рам.

Сумма прогрессии равна 150. Сумма первого и последнего членов - 10. Зная это, можем найти, какое количество дней улитка затратила на свой путь (количество членов прогрессии):

Откуда 

Ответ: 30