Распиленный брусок

Интересная несложная задача, в общем, даже не на сообразительность, а больше на внимательность.

Задача. Деревянный брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда $JVEMJ_1V_1E_1M_1$, распилили тремя распилами, параллельными граням, на 8 маленьких брусков. Чему равна площадь поверхности бруска с вершиной $J_1$, если площадь поверхности бруска с вершиной $J$ составляет 118, с вершиной $V$ - 46, $E$ - 10, $M$ - 34, $V_1$ - 78, $E_1$ - 18, $M_1$ - 58?

Сделаем рисунок.

Рисунок

Введем обозначения: обозначим буквами $a,b,m,n,z,y$ длины отрезков, на которые разобьют стороны параллелепипеда соответствующие распилы. Теперь можно записать систему уравнений для площадей маленьких брусков:

$$\begin{Bmatrix}{S_J=2mz+2ma+2za=118}\\{S_V=2mz+2mb+2zb=46}\\{S_E=2yb+2mb+2my=10}\\{S_M=2my+2ma+2ya=34}\\{ S_{J_1}=2nz+2na+2za}\\{S_{V_1}=2nz+2nb+2zb=78}\\{ S_{E_1}=2yb+2ny+2nb=18}\\{ S_{M_1}=2ya+2yn+2na=58}\end{matrix}$$

Заметим, что можно для упрощения разделить уравнения на два:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{S_J}{2}=mz+ma+za=59}\\{\frac{S_V}{2}=mz+mb+zb=23}\\{\frac{S_E}{2}=yb+mb+my=5}\\{\frac{S_M}{2}=my+ma+ya=17}\\{\frac{S_{J_1}}{2}=nz+na+za}\\{\frac{S_{V_1}}{2}=nz+nb+zb=39}\\{\frac{ S_{E_1}}{2}=yb+ny+nb=9}\\{ \frac{S_{M_1}}{2}=ya+yn+na=29}\end{matrix}$$

Заметим также, что можно записать уравнения так:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{S_J}{2}=m(z+a)+za=59}\\{\frac{S_V}{2}=m(z+b)+zb=23}\\{\frac{S_E}{2}=yb+m(b+y)=5}\\{\frac{S_M}{2}=m(y+a)+ya=17}\\{\frac{S_{J_1}}{2}=n(z+a)+za}\\{\frac{S_{V_1}}{2}=n(z+b)+zb=39}\\{\frac{ S_{E_1}}{2}=yb+n(y+b)=9}\\{ \frac{S_{M_1}}{2}=ya+n(y+a)=29}\end{matrix}$$

Обратим внимание на то, что в уравнениях, составленных для брусков с одноименными вершинами ($M – M_1, E – E_1$) имеется общий множитель. Тогда составим разности:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{S_J}{2}-\frac{S_{J_1}}{2}=(m-n)(z+a)=59-\frac{S_{J_1}}{2}}\\{\frac{S_V}{2}-\frac{S_{V_1}}{2}=(m-n)(z+b)=-16}\\{\frac{S_E}{2} - \frac{S_{E_1}}{2}=(m-n)(b+y)=-4}\\{\frac{S_M}{2}-\frac{S_{M_1}}{2}=(m-n)(y+a)=-12}\end{matrix}$$

Снова вычитаем:

$$\left(\frac{S_M}{2}-\frac{S_{M_1}}{2}\right)-\left(\frac{S_E}{2}- \frac{S_{E_1}}{2}\right)=(m-n)(y+a-b-y)=(m-n)(a-b)=-12+4=-8$$

$$\left(\frac{S_J}{2}-\frac{S_{J_1}}{2}\right)-\left(\frac{S_V}{2}-\frac{S_{V_1}}{2}\right)=(m-n)(z+a-z-b)=(m-n)(a-b)= 59-\frac{S_{J_1}}{2}+16$$

Теперь выражение $(m-n)(a-b)=-8$ подставим в последнее уравнение:

$$-8= 59-\frac{S_{J_1}}{2}+16$$

$$\frac{S_{J_1}}{2}= 59+8+16$$

$$\frac{S_{J_1}}{2}= 83$$

$$S_{J_1}= 166$$

Ответ: площадь поверхности бруска с вершиной $J_1$ равна 166.