Площадь фигуры, заданной уравнением

Рассмотрим сегодня несколько задач на определение площади фигуры, состоящей из всех точек, удовлетворяющих некоторому уравнению. С одной стороны, задача алгебраическая, с другой стороны, будет использована формула определения площади треугольника по координатам его вершин, которая редко используется, поэтому задача не чужда и геометрии.

Задача. Чему равна площадь фигуры на координатной плоскости, состоящей из всех точек, удовлетворяющих уравнению

$$\mid 9q+9p+108\mid+\mid 119q-49p+252\mid +\mid 35q-7p\mid=93q-33p+360$$

С чего начать решение этой задачи? Мы уже догадываемся, что под знаками модуля скрываются уравнения прямых. Поэтому необходимо знать, с каким знаком раскрыть этот модуль. В этом нам поможет правая часть уравнения.

Например, составим вот такое «частичное» уравнение.

$$\mid 9q\mid+\mid 119q\mid +\mid 35q\mid=93q$$

Важно выяснить, как были раскрыты модули, чтобы в правой части получилось то, что получилось. Несложным перебором получаем:

$$9q+119q - 35q=93q$$

То есть необходимо снять первый и второй модуль со знаками «+», а последний – с минусом. Тогда получим систему прямых:

$$\begin{Bmatrix}{ 9q+9p+108=0}}\\{ 119q-49p+252=0 }\\{-35q+7p=0}\end{matrix}$$

Упрощаем:

$$\begin{Bmatrix}{ q+p+12=0}}\\{ 17q-7p+36=0 }\\{-5q+p=0}\end{matrix}$$

Обе переменные совершенно равноправны, поэтому при построении можем воспользоваться как плоскостью $qOp$, так и плоскостью $pOq$. Выберем вторую. Тогда нам предстоит построить прямые:

$$\begin{Bmatrix}{p=-q-12}}\\{ p=\frac{17q}{7}+\frac{36}{7} }\\{p=5q}\end{matrix}$$

Прямые будут пересекаться, координаты точек пересечения можно найти попарным приравниванием ординат. Пересечение первой и второй прямых:

$$-q-12=\frac{17q}{7}+\frac{36}{7}$$

$$-7q-84=17q+36$$

$$24q=-120$$

$$q_1=-5$$

$$p_1=-7$$

Пересечение первой и третьей прямых:

$$-q-12=5q$$

$$-6q=12$$

$$q_2=-2$$

$$p_2=-10$$

Пересечение второй и третьей прямых:

$$5q=\frac{17q}{7}+\frac{36}{7}$$

$$35q=17q+36$$

$$18q=36$$

$$q_3=2$$

$$p_3=10$$

Теперь, зная координаты трех точек пересечения прямых, можем найти площадь фигуры, а именно, треугольника. Запишем формулу и посчитаем:

$$S=\frac{1}{2}\left(q_1(p_2-p_3)+q_2(p_3-p_1)+q_3(p_1-p_2)\right)$$

$$S=\frac{1}{2}\left(-5(-10-10)-2(10-(-7))+2(-7-(-10))\right)= \frac{1}{2}\left(100-34)+6)=36$$

Ответ: 36

Для тренировки предлагаю вам решить подобные задачи:

Задача. Чему равна площадь фигуры на координатной плоскости, состоящей из всех точек, удовлетворяющих уравнению

$$\mid 27m-9n-198\mid+\mid 9m-63n+234\mid +\mid -104m-72n-304\mid=86m+18n+736$$

Ответ: Показать

Задача. Чему равна площадь фигуры на координатной плоскости, состоящей из всех точек, удовлетворяющих уравнению

$$\mid -72x-99y+270\mid+\mid -85x-30y-550\mid +\mid -18x+10y-2\mid=-5x-59y+818$$

Ответ: Показать