Минимальное значение выражения

Задача.

Известно, что положительные числа $a, b, c, d, e, f$ таковы, что $a+b+c=12$, $d+e+f=16$. Найти минимальное значение выражения

$$\sqrt{a^2+d^2+64}+\sqrt{b^2+e^2+16}+\sqrt{c^2+f^2+81}$$

Решение. Вам элементы этого выражения ничего не напоминают? А именно – подкоренные выражения? Мне – теорему Пифагора в пространстве, вычисление диагонали параллелепипеда. И наводят эти подкоренные выражения на вот такую картинку:

Минимальное значение выражения

Первое подкоренное – квадрат $MN$, второе – квадрат $NK$ и последнее – квадрат $KP$. Сумма корней – это сумма длин отрезков $MN+NK+KP$, и минимальной она будет, если отрезки $MN, NK, KP$ «лягут» на диагональ большого параллелепипеда $MP$.

$$MN=\sqrt{a^2+d^2+64}$$

$$NK=\sqrt{b^2+e^2+16}$$

$$KP=\sqrt{c^2+f^2+81}$$

И

$$MP =\sqrt{12^2+16^2+21^2}=\sqrt{841}=29$$

Ответ: 29.