Нестандартные задачи

Задача 1. Вычислить $\arcsin(\cos 5)$. Решение. $$\arcsin(\cos 5)=\arcsin(\cos (2\pi-5))$$ Используем следующее: $\arcsin \alpha+\arccos(\alpha)=\frac{\pi}{2}$, тогда $\arcsin \alpha=\frac{\pi}{2}-\arccos(\alpha)$. У нас $$\arcsin(\cos (2\pi-5))= \frac{\pi}{2}-\arccos(\cos (2\pi-5))= \frac{\pi}{2}-2\pi+5=5-\frac{3\pi}{2}$$ Ответ: $\arcsin(\cos 5)= 5-\frac{3\pi}{2}$   Задача 2. Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой $x\sin 165^{\circ}+y\cos 165^{\circ}=1$. Решение. Представим данное уравнение прямой в виде: $$y=\frac{1}{\cos 165^{\circ}}-x\operatorname {tg}165^{\circ}$$ Коэффициент наклона данной прямой - $k=-\operatorname {tg}165^{\circ}$. У...

Задача 1. Бригаде маляров надо было покрасить два забора, один из которых в два раза  больше второго. В первый день вся бригада красила больший забор, а во второй день разделилась: три маляра продолжили красить больший забор, а остальные пошли красить меньший. Оба забора были докрашены...

Задача. Известно, что положительные числа $a, b, c, d, e, f$ таковы, что $a+b+c=12$, $d+e+f=16$. Найти минимальное значение выражения $$\sqrt{a^2+d^2+64}+\sqrt{b^2+e^2+16}+\sqrt{c^2+f^2+81}$$ Решение. Вам элементы этого выражения ничего не напоминают? А именно – подкоренные выражения? Мне – теорему Пифагора в пространстве, вычисление диагонали параллелепипеда. И наводят эти подкоренные выражения...

Задача 1. Ящик вмещает 12 кг крупы высшего или 16 кг крупы третьего сорта.  Если ящик заполнить крупой высшего и третьего сорта так, что их стоимости одинаковы, то в ящике окажется 15 кг смеси на сумму 180 рублей. Сколько стоит 1 кг крупы третьего сорта?  Решение....

Задача, в которой про параллелепипед известно не очень много, и которая, тем не менее, решается двумя способами. Задача. Имеется прямоугольный параллелепипед, про который известно, что $$3AB+4BC+10AA_1=500$$ И что диагональ параллелепипеда равна $BD_1=20\sqrt{5}$. Найти объем параллелепипеда. Решение. Первый способ. Пусть ребра параллелепипеда $a,b,c$. Тогда $$3a+4b+10c=500$$ И $$a^2+b^2+c^2=(20\sqrt{5})^2$$ То...

Интересная задача, в которой нужно не только помнить формулы геометрии, но и уметь решать задачи в целых числах. Задача. Известно, что площадь треугольника равна $S=\sqrt{3}$, радиус вписанной в него окружности равен $r=\frac{1}{\sqrt{3}}$, а радиус описанной окружности - $R=\frac{2}{\sqrt{3}}$. Определите стороны треугольника. Решение. Известна...

Попалась задача на просторах интернета, понравилась. Решила предложить ее решение. Задача. Три пешехода одновременно разошлись по трем дорогам от одного перекрестка с разными скоростями. Дороги расположены под углами $120^{\circ}$ друг к другу, а скорости пешеходов образуют арифметическую прогрессию. Через два часа расстояние между самым быстрым из...

В этой статье мы рассмотрим задачи на переливания. Эти задачи относятся к теме «проценты», но это сложные задачи, я бы отнесла их к отдельному классу задач. По сложности – вполне олимпиадные задачи, уровня город-регион, для 8 класса.   Задача 1. В сосуде было 20 литров соляной...

Интересная несложная задача, в общем, даже не на сообразительность, а больше на внимательность. Задача. Деревянный брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда $JVEMJ_1V_1E_1M_1$, распилили тремя распилами, параллельными граням, на 8 маленьких брусков. Чему равна площадь поверхности бруска с вершиной $J_1$, если площадь поверхности бруска с вершиной $J$ составляет...

Задачи на развитие логики, внимания, сообразительности. Да, эти задачи, возможно, и не похожи на задания  ЕГЭ, но помочь его  сдать могут. Особенно при решении задачи 19 (на целые числа и делимость). Задача 1. Алексей и Денис считают деревья, растущие вокруг озера. Оба двигаются в одном...

Иногда встретишь пару -тройку задач, на которые в повседневности не наталкиваешься. Всегда интересно решить такую, додуматься, как это сделать. Задача 1. Вычислите все возможные значения выражения $-8\varphi-3z$, если величины $\varphi$ и $z$ являются решением уравнения: $$(112\varphi +73+49\varphi^2)\cdot(-12z+10+4z^2)-9=0$$ Поскольку в уравнении присутствуют две разные переменные, то перепишем его...

Рассмотрим сегодня несколько задач на определение площади фигуры, состоящей из всех точек, удовлетворяющих некоторому уравнению. С одной стороны, задача алгебраическая, с другой стороны, будет использована формула определения площади треугольника по координатам его вершин, которая редко используется, поэтому задача не чужда и геометрии. Задача. Чему равна площадь...

В этой записи представлен очень интересный метод решения задачи на движение с постоянной скоростью: с помощью графика. Помните: площадь фигуры под графиком скорости численно равна пройденному пути. Задача 1. Поезд двигался со средней скоростью $\upsilon_0=72$ км/ч в течение 20 минут. Разгон и торможение длились 4...