Разделы сайта

Категория:

ОГЭ по математике ...

Векторы

18.05.2015 09:01:16 | Автор: Анна

Всем здравствуйте! Сегодня разбираемся с векторами: научимся складывать вектора, определять их координаты, длины, выражать один вектор через другие, и пользоваться координатным методом на плоскости для решения задач. Начнем с умения выражать один вектор через другие.

Чтобы выразить нужный вектор через другие, нужно сначала найти любой путь от начала нужного нам вектора к концу, потом записать «кусочки» этого пути в виде векторов, и, наконец, выразить эти векторы через требуемые.

Задача 1. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем . Выразите векторы и через векторы и .

Найдем путь от точки А к точке М: для этого из точки А идем к В, а затем из В – к М. Часть работы сделана: путь мы нашли. Теперь представляем отрезки этого пути векторами: vec{AM}=vec{AB}+vec{BM} . Так как vec{b}=vec{AB} – это дано, то полдела сделано, осталось выразить вектор vec{BM} . Так как ABCD – параллелограмм, и BC=AD, то vec{BC}=vec{AD} . А вектор vec{BM} – часть vec{BC} . Какая часть? Так как соотношение BM:MC=1:3 , то, значит, отрезок BC разделили на 4 части: 3x+1x, и тогда вектор vec{BM} – это три части из четырех, то есть vec{BM}={{3x}/{4x}}vec{BC}={3/4}vec{a} . Теперь объединяем весь путь от А к М: vec{AM}=vec{AB}+vec{BM}= vec{b}+{3/4}vec{a} .

Теперь так же поступим с вектором vec{MD} : пройдем от точки М к D: vec{MD}=vec{MC}+vec{CD} . Вектор vec{MC}={1/4}vec{BC}={1/4}vec{a} . А что такое вектор CD? По длине он равен вектору vec{b} и параллелен ему, но вектор vec{b} направлен вверх, а вектор vec{CD} – вниз. То есть данные вектора коллинеарны, и получить один из другого можно умножением на (-1): vec{b}=-vec{CD} , тогда vec{CD} =- vec{b} . Теперь записываем весь путь: vec{MD}=vec{MC}+vec{CD}={1/4}vec{a}- vec{b} .

Задача 2. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, а М – точка на стороне АD, такая, что . Выразите через векторы , следующие векторы: .

Рассмотрим рисунок. Так как AC – диагональ параллелограмма, то понятно, что, по правилу параллелограмма сложения векторов вектор vec{AC} является суммой векторов vec{x} и vec{y} : vec{AC}=vec{x}+vec{y} , ну а vec{AO} – его половина, поэтому vec{AO}= {1/2}vec{AC}={1/2}vec{x}+{1/2}vec{y} .

Выразим вектор vec{CO} : по длине он равен вектору vec{AO} , но направлен противоположно, поэтому получим его, умножив вектор vec{AO} на (-1): vec{CO}=(-1)* vec{AO}=-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y} . Тогда vec{OC}=(-1)* vec{CO}={1/2}vec{x}+{1/2}vec{y} , или vec{AO}= vec{OC} , и аналогично vec{OA}=- vec{AO}= vec{CO}=-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}

Теперь нам нужно получить вектор vec{DO} , значит, нужно пройти от точки D к точке O любым маршрутом, я выбрала тот, что выделен зеленым. Тогда vec{DO}= vec{DC}+ vec{CO} . vec{DC}= vec{y} , а вектор vec{CO} мы уже нашли ранее. Получим: vec{DO}= vec{DC}+ vec{CO}= vec{y}-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}={1/2}vec{y} -{1/2}vec{x}

Векторы vec{AD}+vec{BC} и vec{AD}+vec{CO} получим из чисто арифметических соображений: vec{AD}+vec{BC}= 2vec{AD}= 2vec{x} ; vec{AD}+vec{CO}=vec{x} -{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y} ={1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}

Получим векторы vec{AM}, vec{MC}, vec{BM}, vec{OM} . Так как отношение AM={1/2}MD , то получается, что отрезок разделили на три части, и длина равна длине одной из этих трех частей: AM={1/3}AD={1/3}vec{x} .

Чтобы получить вектор vec{MC} , пройдем от точки М к С: vec{MC}= vec{MD} + vec{DC} . MD={2/3}AD={2/3}vec{x} , vec{DC}= vec{y} , получаем: vec{MC}= vec{MD} + vec{DC}={2/3}vec{x}+ vec{y}

Чтобы получить вектор vec{BM} , пройдем от точки B к М: vec{BM}= vec{BA} + vec{AM} . AM={1/3}vec{x} , vec{BA}=-vec{y} , получаем: vec{BM}= {1/3}vec{x}-vec{y}

Остался последний: вектор vec{OM} . От точки О к точке М можно пройти зеленым или красным маршрутом, тогда vec{OM}= vec{OD}+ vec{DM} или vec{OM}= vec{OA}+ vec{AM} , в обоих случаях результат будет одним и тем же, выбираем красный маршрут: vec{OM}= vec{OA}+ vec{AM}=-{1/2}vec{x}-{1/2}vec{y}+{1/3}vec{x}=-{1/6}vec{x}-{1/2}vec{y}

Задача 3. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка так, что . Выразите вектор через и .

vec{BN}={2/3}vec{b} , тогда vec{AN}=vec{AB}+ vec{BN}=-vec{a}+{2/3}vec{b}

Задача 4. Пусть – медианы треугольника ABC, О – произвольная точка. Докажите, что $vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}= vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}$ .

$vec{OA_1}=vec{OC}+{1/2}vec{CB}$ , $vec{OB_1}=vec{OA}+{1/2}vec{AC}$ , $vec{OC_1}=vec{OB}+{1/2}vec{BA}$ .

Теперь сложим все три выражения:

$vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+{1/2}vec{CB}+ vec{OA}+{1/2}vec{AC} vec{OB}+{1/2}vec{BA}$ , или, вынося за скобки дробь {1/2} ,

$vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+ vec{OA}+ vec{OB}+{1/2}(vec{CB}+vec{AC} +vec{BA})$

Но vec{CB}+ vec{BA}+vec{AC} =0 , так как, обходя такой маршрут, мы возвращаемся в точку старта. Поэтому

$vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+ vec{OA}+ vec{OB}+{1/2}*0$

$vec{OA_1}+vec{OB_1}+vec{OC_1}= vec{OC}+ vec{OA}+ vec{OB}$ , ч.т.д.

Задача 5. Точки А и С – середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки B и D – середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство: .

vec{OA}={vec{ON}+vec{OM}}/2 .

vec{OC}={vec{OP}+vec{OQ}}/2 .

vec{OA}+ vec{OC}={vec{ON}+vec{OM}+ vec{OP}+vec{OQ}}/2 .

vec{OB}={vec{ON}+vec{OP}}/2 .

vec{OD}={vec{OQ}+vec{OM}}/2 .

vec{OB}+ vec{OD}={vec{ON}+vec{OM}+ vec{OP}+vec{OQ}}/2 .

Таким образом, раз правые части равны, равны и левые: vec{OB}+ vec{OD}= vec{OA}+ vec{OC} .

Задача 6. Даны четырехугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырехугольник, если .

Так как vec{ON}-vec{OM}= vec{ON}+vec{MO}=vec{MN} , а vec{OP}-vec{OQ}= vec{OP}+vec{QO}=vec{QP} , то vec{MN}=vec{QP} , следовательно, эти два вектора лежат на параллельных прямых и равны по длине, следовательно, если соединить концы таких отрезков – то получим еще пару равных отрезков, лежащих на параллельных прямых, откуда следует, что MNPQ – параллелограмм.

Задача 7. Найдите координаты вектора , если а) , ; б), ; в), ; г) , .

Когда мы складываем два вектора по правилу ломаной, то к концу первого мы пристраиваем второй. То есть от исходной координаты по оси х первого вектора мы откладываем координату по оси х второго, или, что то же самое, складываем координаты двух исходных векторов, чтобы получить координату х искомого вектора суммы. Так же поступаем и с координатой у. Тогда: а) vec{a}+vec{b}(3+2;2+5) , vec{a}+vec{b}(5;7) ; б) vec{a}+vec{b}(3+1;-4+5) ; vec{a}+vec{b}(4;1) ; в) vec{a}+vec{b}(-4-2;5+3) ; vec{a}+vec{b}(-6;8) ; г) vec{a}+vec{b}(2-3;7-7) ; vec{a}+vec{b}(-1;0) .

Задача 8. Найдите длины векторов: , , , , , .

Длина вектора – расстояние между точками его начала и конца. Координаты вектора – это координаты его конца, если его начало совпадает с началом координат. Таким образом, можно представить себе прямоугольный треугольник (так как система координат – прямоугольная), один из катетов которого – координата вектора по оси х, а второй – координата по оси у, тогда длина вектора – гипотенуза такого треугольника, а гипотенузу можно найти по теореме Пифагора:

$delim{|}{vec{a}}{|}=sqrt{5^2+9^2}=sqrt{106}$

$delim{|}{vec{b}}{|}=sqrt{(-3)^2+4^2}=sqrt{25}=5$

$delim{|}{vec{c}}{|}=sqrt{(-10)^2+10^2}=10sqrt{2}$

$delim{|}{vec{d}}{|}=sqrt{10^2+17^2}=sqrt{389}$

$delim{|}{vec{e}}{|}=sqrt{11^2+(-11)^2}=11sqrt{2}$

$delim{|}{vec{f}}{|}=sqrt{10^2+0^2}=10$

Задача 9. Найдите , если расстояние между точками а), равно 2; б) расстояние между точками , равно 7.

a) Как вы, может быть, помните, расстояние между двумя точками выражается формулой:

$d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ . Запишем:

$d=2=sqrt{(x-2)^2+(1-3)^2}$

4= (x-2)^2+4

(x-2)^2=0

x=2

б) $d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ . Тогда:

$d=7=sqrt{(2x-(-1))^2+(3-x)^2}$

49= (2x+1)^2+(3-x)^2

49=4x^2+4x+1+9-6x+x^2

5x^2-2x-39=0

Дискриминант. Определяем четверть дискриминанта, так как второй коэффициент – четный:

D/4=1+5*39=196

Корни:

$x_1={{-b/2}+sqrt{D/4}}/a={1+14}/5=3$

$x_2={{-b/2}-sqrt{D/4}}/a={1-14}/5=-2.6$

Ответ: а) x=2

б) x=3 либо x=-2.6

Задача 10. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек а) и ; б) от точек ,

Искомая точка лежит на оси у, поэтому координата х у нее – нулевая: N(0;y)

а) Запишем расстояние от точки А до точки N: $d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ ,

$d=sqrt{(0-(-3))^2+(y-5)^2}$ .

Запишем расстояние от точки B до точки N: $d=sqrt{(0-6)^2+(y-4)^2}$

Приравниваем расстояния: $sqrt{(0-(-3))^2+(y-5)^2}= sqrt{(0-6)^2+(y-4)^2}$

9+y^2-10y+25= 36+y^2-8y+16

-2y= 18

y= -9

Таким образом, искомая точка - N(0;-9)

б) Запишем расстояние от точки С до точки N: $d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ ,

$d=sqrt{(0-4)^2+(y-(-3))^2}$ .

Запишем расстояние от точки D до точки N: $d=sqrt{(0-8)^2+(y-1)^2}$

Приравниваем расстояния: $sqrt{(0-4)^2+(y-(-3))^2}= sqrt{(0-8)^2+(y-1)^2}$

16+y^2+6y+9= 64+y^2-2y+1

8y= 40

y= 5

Таким образом, искомая точка - N(0;5)

Задача 11. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником и найдите его площадь, если , , , .

Найдем координаты векторов сторон такого четырехугольника. Тогда координаты вектора AB будут: $vec{AB}(x_b-x_a;y_b-y_a)$ , vec{AB}(3-4;5-1) , vec{AB}(-1;4) .

Найдем координаты вектора DC: $vec{DC}(x_d-x_c;y_d-y_c)$ , vec{DC}((-1)-0;4-0) , vec{DC}(-1;4) .

Таким образом, получили для обеих противоположных сторон четырехугольника один и тот же вектор. А это значит, что они противоположны и равны. Теперь докажем, что сторона АВ перпендикулярна стороне ВС. Найдем координаты вектора ВС: $vec{BC}(x_b-x_c;y_b-y_c)$ , vec{BC}((-1)-3;4-5) , vec{BC}(-4;-1) .Условие перпендикулярности векторов на плоскости имеет вид: $x_{AB}*x_{BC}+y_{AB}*y_{BC}=0$ , проверим, выполняется ли оно: (-1)*(-4)+4*(-1)=0 - да, условие выполняется. Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны - а это означает, что и две другие его стороны будут также равны и параллельны, а значит, он - параллелограмм, после чего доказали, что смежные стороны нашего четырехугольника перпендикулярны - значит, он прямоугольник. Тогда найдем его площадь: S=AB*BC . Найдем длины векторов vec{AB} и vec{BC} .

Расстояние между двумя точками выражается формулой:

$d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$AB=sqrt{(3-4)^2+(5-1)^2}=sqrt{17}$ , $BC=sqrt{(-1-3)^2+(4-5)^2}=sqrt{17}$

Таким образом, четырехугольник не только является прямоугольником, но и квадратом, и его площадь равна 17.

Задача 12. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то медиана, проведенная к основанию, является и его высотой. Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов. Один из концов искомой медианы – вершина треугольника, одна из точек его основания, а второй конец – середина противолежащей стороны. То есть, чтобы решить задачу, нам надо определить координаты вершин такого треугольника. Координаты вершин треугольника будут: A(-40; 0) , B(0;160) , C(40; 0) , а координату середины стороны ВС определим так: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: M({40+0}/2; {0+160}/2) , M(20;80)

Длина искомой медианы: $AM=sqrt{(-40-20)^2+(0-80)^2}=sqrt{60^2+80^2}=100$

Ответ: AM=100 .

Задача 13. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.

Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов. Координаты вершин треугольника будут: A(-10; 0) , B(0;10) , C(4; 0) .

Нам нужна медиана, проведенная к меньшей стороне. Рассмотрев треугольники АВО и ОВС можем заключить, что гипотенуза первого больше, чем гипотенуза второго даже без расчета, поэтому меньшая из оставшихся сторон – ВС. Точка М – середина ВС, а координату середины стороны ВС теперь можно легко определить: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: M({4+0}/2; {0+10}/2) , M(2;5) . Таким образом, нас интересует длина отрезка AM, координаты концов которого A(-10; 0) и M(2;5) .