Площади фигур по формуле Пика.

Как определить площадь сложной фигуры? Если она нарисована на клетчатой бумаге, и невырождена -площадь ее ненулевая,  все вершины имеют целые координаты, а стороны не пересекают друг друга - то удобно воспользоваться формулой Пика.

Если обозначить:  В - количество целочисленных точек внутри этой фигуры, Г  - количество целочисленных точек на ее границе, S - площадь фигуры, то

S=В+Г/2-1

Рассмотрим следующую фигуру:

Формула Пика - определение числа узлов внутри и на границе фигуры.

Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те, что на границах - синими. Целочисленные - это те, что лежат на пересечениях сетки (в ее узлах). Считаем те и другие: В=12, Г=4.  Определим теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13.

Давайте проверим правильность наших расчетов, тем более, что здесь это просто: рассчитаем площадь квадрата, обведенного красным, и вычтем площади цветных треугольников:

Вычисление площади при помощи отрезания "лишнего"

Тогда площадь квадрата Sкв=36, площадь голубого треугольника 6, площадь зеленого - 2, площадь фиолетового 15.

Площадь белого треугольника тогда: S=36-6-15-2=13.

Рассмотрим такую фигуру:

Еще один пример определения площади сложной фигуры с помощью формулы Пика

Для нее S=В+Г/2-1=4+3-1=6.

Проверим:

Отрежем лишнее

Тогда площадь прямоугольника Sпр=20, площадь голубого треугольника 5, площадь зеленого - 4, площадь фиолетового 5.

Площадь искомой фигуры тогда: S=20-5-4-5=6.

Третья фигура:

Еще один пример работы с формулой Пика

Для нее S=В+Г/2-1=4+4-1=7.

Проверим: площадь треугольников, составляющих нашу фигуру: голубого - 4, зеленого - 1, оранжевого - 2. Сумма их площадей S=4+1+2=7.

Расчет площади с помощью разрезания фигуры

Еще две фигуры:

Узлы решетки внутри и на границе фигуры

Площадь первой: S=10+2-1=11,

Узлы решетки внутри и на границе

второй - S=10+5-1=14.

Проверить правильность расчета их площадей вы можете самостоятельно.