Простая физика
Геометрическая задача на вычисление (задание 23)
Окружности вписанные и описанные - задачи Math-Досуг
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Рассмотрим треугольник $DO_1C$.
$$\cos DO_1C=\frac{3r}{R}$$
$$\cos BO_1C=-\frac{3r}{R}$$
Сделаем дополнительные построения
Запишем теорему косинусов для треугольника...
Разное из группы Math-Досуг: площади, углы, длины - 2
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Обозначим сторону шестиугольника за $a$. Тогда отрезок $AB$ - это две высоты правильных треугольников со стороной $a$, на которые, как известно, можно разбить любой...
Геометрия от Math-Досуг: длины
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Рассуждаем. Во-первых, отрезок равен 4:
Самый очевидный вывод: $AB=4$
А также будет равен...
Снова задачки из группы Math-Досуг: и площади, и углы
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Разбиваем треугольник, у которого при вершине $45^{\circ}$, на два, с углами при вершинах $20^{\circ}$ и $25^{\circ}$.
Метод "резинок" и другие задачи
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Вводим отрезки $a, b, c, d$. По теореме о высоте прямоугольного треугольника
$$8^2=ab$$
Разное из группы Math-Досуг: площади и длины - 2
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Площадь квадрата равна 1, площадь треугольников $MAD$ и $BKF$ равна $\frac{1}{6}$.
Обозначаем...
Снова площади от Math-Досуг и других источников
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Рассмотрим треугольник $ACD$. Если принять $FD=DC=a$, то $AB=BC=a\sqrt{2}$. Тогда теорема косинусов для треугольника $ADC$:
$$AD^2=AC^2+DC^2-2AC\cdot DC\cdot \cos 45^{\circ}$$
$$10^2=(2a\sqrt{2})^2+a^2-2\cdot 2a\sqrt{2} \cdot a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$100=8a^2+a^2-4a^2$$
$$100=5a^2$$
$$a^2=20$$
Площадь всего треугольника
$$S_0=\frac{1}{2}\cdot FC\cdot...
Геометрия Math-Досуг: длины отрезков
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. В треугольнике $BFG$ $FO$ - высота, так как диагонали квадрата перпендикулярны.
Для треугольника $BOF$, прямоугольного, теорема синусов:
$$\frac{BF}{\sin 90^{\circ}}=\frac{BO}{\sin BFO}$$
Если сторону квадрата принять за $a$, то...
Геометрия Math-Досуг: площади квадратов и кругов в сочетаниях, определение углов косвенно
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. По теореме о секущей и касательной
$$5^2=1(L-1+1)$$
$$L=25$$
$$L-1=24$$
Тогда по теореме Пифагора
$$(L-1)^2+10^2=(2R)^2$$
$$2R=\sqrt{26^2}$$
$$R=13$$
Дополнительные построения
Чтобы найти...
Задачи от Math-досуг: опять площади... и опять длины... и углы.
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Введем обозначения $R$ - для радиуса большой окружности, $r$ - для малой. После введения обозначений видим прямоугольный треугольник, для него
$$(R-r)^2-r^2=(1,5r)^2$$
Задачи из группы Math-Досуг, длины, площади, углы
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Обозначения для удобства рассуждений
Решение. Запишем теорему синусов для треугольника $ABD$:
$$\frac{BD}{\sin 60^{\circ}}=\frac{AD}{\sin ABD}$$
$$\frac{y}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{12}}{\sin...
Снова задачки из группы Math-Досуг, тут и длины, и площади, и углы
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Замечаем, что $R+r=1,5y$, где $y$ - указанные на рисунке равные отрезки. Также в большей окружности образовался прямоугольный треугольник (так как отрезок, проведенный из центра...
Геометрические задачи из группы Math-Досуг, разное
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Замечаем, что тангенс выделенных углов легко найти в самом левом маленьком треугольнике, он равен
$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$
Таким будет тангенс обоих углов, поскольку они равны.
Тангенс суммы этих углов
$$\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{2\operatorname{tg}\alpha...
Разное из группы Math-Досуг: площади кругов, треугольников и просто площади...
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Делаем дополнительные построения: проводим отрезок $OR$, перпендикулярный хорде. Он разделит хорду ровно пополам. Длина всей хорды 12, ее половины – 6. Поэтому отрезок $TR=2$....
Задачи на нахождение площадей разных фигур, а также длин и углов...
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Площадь большого треугольника (площади частей которого известны) равна 108 и он подобен малому с площадью 12. Коэффициент подобия между ними равен
$$k_1^2=\frac{12}{108}=\frac{1}{9}$$
$$k_1=\frac{1}{3}$$
Аналогично, маленький треугольник с...
Простенькие задачи из Math-Досуг
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Сделаем дополнительное построение, выделим правильный треугольник $FBC$:
Дополнительные построения для решения задачи
Обозначим...
Категория:
Планиметрия (17)Два квадрата - задачи группы Math-Досуг
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Пусть сторона квадрата $a$. Введем дополнительные обозначения:
Дополнительно построим диагонали дельтоида и...
Задачи группы Math-Досуг: определение углов и площадей
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Если сторона большого квадрата $2a$, то радиус круга $a$, и его площадь $\pi a^2$. Площадь большого квадрата $(2a)^2=4a^2$, площадь зеленой области равна
$$S_{zel}=4a^2-\pi a^2$$
Площадь внутреннего...
И опять площади из Math-Досуга
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Шестиугольник хорош тем, что его можно разбить на шесть правильных треугольников, имеющих общую точку в центре. Площадь каждого - $\frac{S}{6}$, где $S$ - площадь...
Задачи из группы Math-Досуг: площади и снова площади
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Окружности имеют один и тот же радиус, пусть он равен стороне квадрата и равен $a$. Тогда площадь круга (полная) $S_0=\pi a^2$, а площадь четвертинки...
Категория:
Планиметрия (17)Задачи из группы Math-Досуг: углы и расстояния
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Гипотенуза большого треугольника равна 13, она разделена на два куска по 6,5 (так как $O$ - центр окружности, $AC$ - диаметр). Составляем соотношение сходственных...
Категория:
Планиметрия (17)Задачи из группы Math-Досуг, длины, площади и углы
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Для треугольника $ABD$:
$$BD^2=x^2+AD^2$$
Для треугольника $BCD$:
$$CD^2=BD^2-6^2$$
Для треугольника $CED$:
$$CD^2=ED^2-16=AD^2-16$$
Приравниваем обе правых части двух последних выражений:
$$ BD^2-6^2= AD^2-16$$
$$ x^2+AD^2-6^2= AD^2-16$$
$$ x^2-6^2= -16$$
$$x^2=20$$
$$x=\sqrt{20}$$
Ответ: $x=2\sqrt{5}$.
Задача 2.
Окружности, задачи из группы Math-Досуг
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Сторона квадрата равна 6, а радиус окружности - $OG$ - 5.
Проводим...
Категория:
Планиметрия (17)Снова площади: группа Math-Досуг
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Пусть сторона квадрата $a$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Он равнобедренный, $AB=AC=\frac{a}{2}\sqrt{5}$ - это из теоремы Пифагора для треугольника $ACD$. $BC=\frac{a}{2}\sqrt{2}$. В треугольнике $ABC$ нас интересует угол...
Разное из группы Math-Досуг: площади, углы, длины
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Площадь $EFD$ равна $0,25S$, где $S$ - площадь квадрата ($a$ - его сторона). Площадь $ABE$
$$S_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{3}\cdot a=\frac{a^2}{6}=\frac{1}{6}S$$
Площадь $BCD$
$$S_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a}{3}\cdot a=\frac{a^2}{3}=\frac{1}{3}S$$
Искомая площадь
$$S_0=S-\frac{1}{6}S-\frac{1}{3}S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}S$$
Ответ: $S_0=\frac{1}{4}S$.
Задача 2.
Категория:
Планиметрия (17)Разное из группы Math-Досуг: углы и длины
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Пусть $AD=x$. Тогда замечаем, что треугольники $ADC$ и $ADF$ подобны по двум углам, и для них соотношение сходственных сторон
$$\frac{AD}{DC}=\frac{DF}{AD}$$
$$\frac{x}{5}=\frac{2}{x}$$
$$x=AD=\sqrt{10}$$
Тогда по теореме Пифагора
$$AD^2-BD^2=AB^2$$
$$10-1=AB^2$$
$$AB=3$$
Тогда искомый угол...
Категория:
Планиметрия (17)Углы-углы-углы
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Треугольники $BGF$ и $BCF$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $AB=BC=BG=a$. Тогда, если $\angle BCF=\angle FBG=\alpha$, то $\angle ABG=90^{\circ}-2\alpha$, а углы равнобедренного треугольника...
Разное из группы Math-Досуг: площади и длины
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AB=2k$, $AC=k$, по Пифагору $BC=\sqrt{5}k$. Тогда $\sin ACB=\frac{2}{\sqrt{5}}$, $\cos ACB=\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Вычисление углов и площадей в задачах группы Math-Досуг
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Давайте отрежем часть от квадрата и приложим иначе:
Отрежем и приложим
Рассмотрим...
Категория:
Планиметрия (17)Вычисление длин и углов, задачи группы Math-Досуг
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Проводим вторую хорду параллельно первой и опускаем перпендикуляр на нее из точки $A$.
Геометрия с фантазией: площади и длины. Задачи из группы Math-Досуг.
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Площадь треугольника $ABC$ - $\frac{1}{4}$ квадрата. Площадь треугольника $CDF$ - $\frac{3}{16}$ квадрата.
Геометрия из экзамена "Профи" для учителей
Задача 1.
Площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой $5\sqrt{2}$ и острым углом $22,5^{\circ}$ равна…
Решение. Найти площадь такого треугольника сложно, а вот если к нему рядышком пристроить такой же… Угол уже будет $45^{\circ}$, и это очень хорошо! Сложить треугольники надо длинными катетами, чтобы две гипотенузы образовали две...
Категория:
Планиметрия (17)Разные интересные задачи по геометрии: площади, длины и углы
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. В треугольнике $ABC$ $AB=1,5a$, $BC=0,5a$. $a$ - сторона голубого квадрата.
Дополнительные построения
Треугольник...
Снова о площадях
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Площади квадратов 25, $b^2$, $a^2$.
По теореме Пифагора
$$a^2+b^2=25$$
Также известно, что
$$a+b=11$$
Возведем в квадрат:
$$a^2+2ab+b^2=121$$
Подставляем:
$$25+2ab=121$$
$$2ab=96$$
$$ab=48$$
Площадь треугольника, сторонами которого являются стороны квадратов $a$ и $b$, понятно, равна $\frac{ab}{2}=24$. Теперь...
Решаю задачки из группы "Math-Досуг"
Задача 1.
Задача из группы «Math-Досуг»
Задача 1
Решение. Очень простая задача. Площадь квадрата равна 100. Площадь треугольника $BCF$ - четверть квадрата, то есть 25. Площадь треугольника $AFD$ - тоже четверть квадрата,...
Геометрия почти без фантазии: оттачиваем практические навыки
Задача 1.
Задача из группы «Math-Досуг», картинка их же
Задача 1
Решение. Рассмотрим треугольник $OCK$. Он тупоугольный с углом $\angle OKC=135^{\circ}$. Запишем для него теорему синусов:
$$\frac{OC}{\sin 135^{\circ}}=\frac{OK}{\sin OCK}$$
Категория:
Планиметрия (17)Важность умения делать дополнительные построения при решении геометрических задач
Задача 1.
На рисунке представлен треугольник $ABC$. В нем $AB=FC$, $\angle C=20^{\circ}, \angle A=80^{\circ}$. Необходимо определить угол $\angle AFB$.
Рисунок к задаче 1
Решение. Заметим, что треугольник $ABC$ - равнобедренный. Угол $\angle...
Решаем занимательную геометрию, готовимся к ОГЭ и ЕГЭ легко!
Задачи из группы ВК «Math-Досуг». Картинки их же.
Задача 1.
Рисунок к задаче 1
Решение. Так как треугольники $ABC$ и $KDE$ имеют площади, отличающиеся вдвое, и при этом одну и ту же...
Площади разных фигур в не самых простых задачах
Задача 1.
На рисунке площадь треугольника $AFD$ равна 48, а площадь треугольника $DHC$ равна 12. Оба треугольника – равнобедренные ( $AF=FD$, $DH=HC$). Основание треугольника $ABC$ $AC=22$. Угол $\angle FDH=90^{\circ}$. Найти площадь четырехугольника $FBHD$.
Две задачи из группы Math-Досуг по геометрии
Обе задачи из группы Math-Досуг, картинки их же.
Задача 1.
Найти площадь представленного на картинке прямоугольника.
Задача 1
Пусть большая сторона прямоугольника $a$, меньшая - $b$.
Любопытная геометрическая задачка "на подумать"
Задача представлена на рисунке (взят в ВК, в группе, название которой MathДосуг - на рисунке ссылка).
Рисунок-задача
Решение. Рассмотрим две трапеции: одна рыжая, с высотой 25, а вторая синяя, с высотой 17. У рыжей большее...
Категория:
Практические задачи по геометрииЗадачи с фантазией - 31
Сегодня решим несколько приятных задач по геометрии. Очень симпатичные задачки, решения простые и в то же время заставляют думать.
Задача 1.
...
Категория:
Планиметрия (17)Задача о нахождении сторон треугольника по некоторым его параметрам
Интересная задача, в которой нужно не только помнить формулы геометрии, но и уметь решать задачи в целых числах. Задача. Известно, что площадь треугольника равна $S=\sqrt{3}$, радиус вписанной в него окружности равен $r=\frac{1}{\sqrt{3}}$, а радиус описанной окружности - $R=\frac{2}{\sqrt{3}}$. Определите стороны треугольника. Решение. Известна...
Герон или Пифагор?
Несколько задач, решение которых сочетает в себе и теорему Пифагора, и формулу Герона, и умение увидеть разность квадратов и тем облегчить себе расчет.
Задача 1.
Найти площадь треугольника:
...
Категория:
Планиметрия (17)Задачи с фантазией - 14
Эта статья содержит задачи олимпиады «Фоксфорда». Задачи интересные, и заслуживают внимания.
Задача 1.
(Олимпиада Фоксфорд). Точка $M$ удалена от вершин $A, B$ и $C$ прямоугольника $ABCD$ на расстояния 8, 7 и 1 соответственно. Найдите расстояние от точки $M$ до вершины $D$.
Категория:
Планиметрия (17)Задачи с фантазией - 13
Эта статья содержит задачи на подобие и вычисление площадей. Очень хороши для прокачивания «математического видения», которое позволяет легко решать геометрические задачи. Прорешав эти задачи, вы будете «сечь» подобные треугольники с первого взгляда!
Задача 13.
Из вершины B параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону CD...