ОГЭ 2015. Задания 22. Задачи на прогрессии

Задача 1.

Среднее арифметическое первых десяти членов арифметической прогрессии равно 20. Найдите первый член и разность этой арифметической прогрессии, если  известно, что они являются натуральными числами.

Для начала сразу вспомним, какие числа мы называем натуральными. Это такие числа, которые нами используются, когда мы считаем что-то, например, овец при попытке уснуть. В натуральный ряд не входят, таким образом, ноль и отрицательные числа.

Теперь вспомним, что такое среднее арифметическое. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все слагаемые, и эту сумму поделить на их количество, например: среднее арифметическое чисел 6, 10 и 20:

Среднее арифметическое чисел 2, 5, 6 и 13: .

Тогда условие задачи можно записать так:

или

Вспомним теперь, что мы имеем дело с арифметической прогрессией, каждый последующий член которой отличается от предыдущего на одинаковую величину, называемую разностью прогрессии .

Тогда:

Получим:

Получается, что количество разностей  в нашей сумме также изменяется по закону арифметической прогрессии Тогда найдем количество  воспользовавшись формулами для арифметической прогрессии: Первый член - , разность прогрессии - тоже , количество членов - 9, так как в состав первого члена исходной прогрессии  не входит. Тогда сумма прогрессии:

.

Имеем:  

или 

Получили уравнение в целых числах. Чтобы решить его, выразим любую величину, например, :

Выделим целую часть:

Тогда становится видно, что  не может быть нечетно, и, кроме того, чтобы выполнялось требование , должно выполняться , или .

То есть в формулу  осталось подставить  и . Тогда  или .

Ответ:  или .

Решение поменялось бы, если в условии требовалось, чтобы разность и первый член были бы числами целыми. Тогда подошел бы ноль и отрицательные числа. Решим задачу при этом условии:   по-прежнему должно быть четным. Тогда:

и далее,

и так далее.

Задача 2.

Среднее арифметическое первых восьми членов арифметической прогрессии равно 23. Найдите первый член и разность этой арифметической прогрессии, если  известно, что они являются натуральными числами.

Условие задачи можно записать так:

или

Определим количество разностей, вошедших в эту сумму, найдем сумму прогрессии, которую образуют разности аналогично предыдущей задаче:

Тогда сумма прогрессии:

.

Имеем:  

или 

Получили уравнение в целых числах. Чтобы решить его, выразим любую величину, например, :

Выделим целую часть:

Очевидно, что  четно, и, кроме того, чтобы выполнялось требование , должно выполняться , или .

То есть в формулу  осталось подставить , и  . Тогда , , или .

Ответ:  или или  .

Задача 3.

Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна 0, а сумма первых четырех равна 1.

Запишем условие задачи в виде системы уравнений:

Понятно тогда, что .

Первое уравнение можно переписать так:

, откуда  

Вернемся к факту, что . Это можно записать так:, а с учетом  получим  или , откуда , .

Осталось определить сумму прогрессии:

.

Ответ: .

Теперь рассмотрим задачи на геометрическую прогрессию.

Задача 4.

В геометрической прогрессии, первый член которой - число положительное, , а . Найдите эти четыре члена геометрической прогрессии.

Запишем условие задачи в виде системы уравнений:

Перепишем немного иначе, записав все члены этой прогрессии, кроме первого, через первый член и знаменатель прогрессии:

Или:

Теперь разделим второе уравнение системы на первое:

Тогда:

, , , .

Ответ: , , , .

Задача 5. 

В геометрической прогрессии, первый член которой - число отрицательное, , а . Найдите эти четыре члена геометрической прогрессии.

Эта задача решается аналогично, однако она поинтереснее, так как первый член - число отрицательное. Значит, нам предстоит догадаться, какой знак имеет знаменатель прогрессии. Составляем систему:

Или:

Из первого уравнения делаем вывод, что знаменатель прогрессии - число отрицательное. Теперь снова применим прием деления одного уравнения на другое:

Тогда:

, , , .

Ответ: , , , .