Фигуры на квадратной решетке

 

 

В этой статье речь пойдет о фигурах на квадратной решетке. В этом разделе присутствует несколько типов задач, это:

1) определение градусной меры угла;

2) определение тангенса угла (косинуса, синуса);

3) определение площади той или иной фигуры - трапеции, параллелограмма, сектора круга, треугольника и т.п.;

4) определение наибольшей (наименьшей) медианы (высоты) треугольника;

5) определение радиуса вписанной в треугольник (описанной около треугольника) окружности;

6) определение площади сложных или составных фигур.

Разберем задачи каждого типа.

Определение градусной меры угла.

1. Определите градусную меру угла:

 

 

 

 

 

 

Данный угол - тупой, и можно заметить, что левый луч, образующий его, является биссектрисой прямого угла (см. второй рисунок, угол показан рыжими прямыми). Тогда градусная мера этого угла равна:

Ответ: 

2. Определите градусную меру угла (имеется в виду "рыжий" угол):

 

В этой задаче все просто, если вспомнить, что любой угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 

Ответ: 

3.  Определите градусную меру угла (рыжий).

Имеем правильный шестиугольник. Угол, градусную меру которого нам надо определить - вписанный.

Он опирается на дугу, которую стягивает хорда, являющаяся стороной шестиугольника. Тогда центральный угол, опирающийся на ту же дугу, это 1/6 часть всей окружности, или  . Вписанный угол вдвое меньше центрального, если они опираются на одну и ту же дугу, значит, искомый угол равен  .

 

4. Определите градусную меру угла.

"Нехорошая" задача. В данной задаче определить градусную меру угла можно только приближенно, однако мы не можем вписать приближенный ответ в бланк. Выделенный рыжим угол - тупой, можно заметить , что он состоит из прямого угла и еще некоторой части. Эту часть можно определить только "на глаз" - прикинуть, что она составляет примерно третью часть прямого угла, или . Тогда весь угол - . Ответ - . К сожалению такие задачи, где приходится прикидывать, встречаются.

Определение синусов, косинусов, тангенсов углов.

Здесь придется вспомнить геометрические определения синуса, косинуса, тангенса:

 

Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.

5. Определить синус, косинус и тангенс угла.

Для того, чтобы воспользоваться определениями синуса, косинуса и тангенса, надо сначала выделить прямоугольный треугольник.

Конечно, удобнее вычислять, если катеты и гипотенуза этого треугольника будут целыми числами. Катеты, понятно, лежат на прямых, образующих саму решетку, поэтому нужно смотреть на луч этого угла, который станет гипотенузой нашего треугольника, и найти такое место, где этот луч пересечет узел решетки:

Тогда в нашем треугольнике катеты  - 3 и 4 клетки, а гипотенузу найдем по теореме Пифагора.

Тогда: синус угла - 4/5, или 0,8, косинус угла - 3/5, или 0,6, тангенс угла - 4/3, или 1,33 - кстати, вы подумали, как записать такое число в бланк ответов?

6. Определить тангенс угла:

Вспомним, что тангенс тупого угла равен тангенсу острого, смежного с ним, взятого с отрицательным знаком.

Надо найти тангенс смежного острого угла. Так как луч, образующий его - гипотенуза прямого угла и проходит прямо по узлам решетки, то катеты треугольников, образуемых этим лучом, всегда равны. Тогда тангенс равен:. Искомый тангенс тупого угла - (-1).

Ответ: -1

7. Определить тангенс угла.

Данный угол - острый, его тангенс - положительный. Осталось найти подходящий узел решетки, чтобы построить прямоугольный треугольник (для этого черным помечена опорная точка - узел решетки). В этом треугольнике считаем количество клеточек в каждом из катетов и определяем тангенс. У нас катеты - 1 и 4 клеточки, искомый тангенс - .

8. Определить тангенс угла.

Данный угол - тупой, значит, его тангенс - отрицателен. Определяем тангенс смежного с ним острого угла, ставим перед ним минус - и дело в шляпе. Чтобы определить тангенс острого угла, выбираем целый узел, через который проходит луч, образующий угол - помечен черной точкой. Катеты получившегося треугольника - 1 и 3 клетки, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему, значит,  . Искомый тангенс тупого угла - (-3).

Ответ: -3

9 и 10. Попробуйте сами определить тангенсы углов на рисунках ниже. Ответ - в конце статьи.

 

 

 

 

 

Определение площади той или иной фигуры.

11. Определите площадь трапеции:

 

 Несмотря на то, что трапецию уложили на бок, сразу можем определить, где у нее основания - ведь, чтобы определить площадь трапеции, нужно знать основания и высоту трапеции:

У нас верхнее (малое) основание - 2 клетки, нижнее (большое) - 4 клетки. Высота трапеции - 2 клетки. Тогда вычисляем площадь: 

Ответ: 6

12. Определите площадь параллелограмма:

Для вычисления площади параллелограмма достаточно высоты и основания (есть, конечно, и другие формулы, но в данном случае, на решетке, они вряд ли пригодятся): . У данного параллелограмма основание равно 1 клетке, а вот высота? Высота - всегда перпендикуляр к основанию... или к его продолжению! Вы согласны, что высота этого параллелограмма равна 4 клеткам? Тогда его площадь .

Ответ:4.

13. Определите площадь ромба.

 Нетрудно понять, что посчитать площадь ромба удобно, разделив его на треугольники либо по вертикали, либо по горизонтали. Имеем два треугольника с основанием 6 клеток, высотой 2 клетки (поделила по горизонтали). Площадь треугольника определяем по формуле: .

Площадь ромба равна  .

Кстати, площадь ромба здесь еще очень удобно определить как половину произведения его диагоналей:  .

14. Определите площадь кругового сектора, в ответ запишите площадь, деленную на .

Радиус окружности равен 3, поэтому площадь всего круга будет: .

Так как центральный угол сектора равен , а это 1/3 от  , то площадь сектора будет равна 1/3 от площади всего круга, то есть . Делим на число   и записываем ответ: 3

15. Определите площадь треугольника:

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать его основание и высоту. За основание может быть принята любая удобная сторона, удобная - значит, она расположена строго вертикально или горизонтально - так, чтобы ее длину в клеточках было удобно считать. Здесь возьмем за основание самую длинную сторону, расположенную вертикально, ее длина в клеточках - 10. Проведем к этой стороне высоту из правой вершины, высота получится равной 3 клеточкам.  Тогда площадь этого треугольника: .

Ответ:15.

 

 

16. Определите площадь треугольника:

Основание его равно 2 клеткам, высота - 4 клеточки, и неважно, что она не "попала" в основание, ведь она может быть опущена и на его продолжение. Тогда площадь равна: .

Ответ: 4.

Определение наибольшей или наименьшей высоты (или медианы) треугольника.

17. Определите наименьшую высоту треугольника. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в см.

Проведем высоты из вершин данного треугольника к основаниям или их продолжениям:

 

 

Понятно, что самая маленькая высота  - та, что внутри треугольника (а). Ее длина - 1 клеточка.

Ответ: 1

18. Найдите наибольшую медиану треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см. Ответ дайте в см.

 

В этом треугольнике нетрудно определить середины сторон - точки, в которых медианы пересекутся со сторонами треугольника (отмечены черными кружочками). Но медианы получаются близкими по длине - как узнать, какая все же длиннее?

Очевидно, что борьба развернется между медианами "b" и "c", "а" - не конкурент, она явно короче. Длину "с" можно определить сразу - это 5 клеточек. Осталось разобраться с медианой "b", и здесь нельзя выполнить расчет неточно. Воспользуемся тем, что треугольник изображен на сетке - тогда можно использовать теорему Пифагора. Построим прямоугольный треугольник на гипотенузе "b":

 

Видно, что катеты этого треугольника 3 и 4 клетки, тогда гипотенуза (это и есть наша медиана "b") равна 5 и равна медиане "с". В ответ нужно записать длину наибольшей медианы, ответ: 5

 

19. Найдите наименьшую медиану  треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см. Ответ дайте в см.

 

 

 

 

Проведем медианы. Самую длинную медиану (к самой короткой стороне треугольника) не проводим.

Какая из медиан короче - рыжая или зеленая? Если заметить, что два этих отрезка являются перпендикуляром и наклонной между двумя параллельными прямыми, образующими саму сетку, то очевидно, что перпендикуляр - рыжая медиана - короче (по теореме). Ее длина - 2 клетки, записываем ответ: 2.

20. Найдите наибольшую высоту  треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см. Ответ дайте в см.

Очевидно, что здесь наибольшая высота - это высота, проведенная к продолжению наименьшей стороны треугольника, ее длина составит 4 клетки. Ответ: 4.

Определение радиуса вписанной в треугольник (описанной около треугольника) окружности.

21. Для данного треугольника определите радиус описанной около него окружности. Размер клетки - 1 см. Ответ дайте в см.

В такого типа задачах может помочь знание формул. Нужно помнить, что

 

 

 

, где a, b и c - стороны треугольника, R - радиус описанной окружности.

, где  - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной окружности.

Площадь этого треугольника - . Длины его сторон: основание - 8, боковые - по теореме Пифагора - 

Считаем радиус описанной окружности: 

Ответ: 5

22. Определить радиус вписанной в треугольник окружности. Размер клетки 1 см.

Снова понадобятся стороны - чтобы определить полупериметр. Катеты: 5 и 12, тогда гипотенуза - 13 (пифагорова тройка).

Полупериметр: 

Это прямоугольный треугольник, площадь найдем через катеты: 

Тогда радиус вписанной окружности: 

Ответ:2

 

23. Определим радиус описанной около треугольника окружности:

Самая длинная - 10, самая короткая - .Его площадь мы нашли в задаче 15, она равна 15 квадратным см. Осталось найти стороны.

Средняя: .

Считаем радиус описанной окружности: 

Ответ:5

 

Определение площади сложных или составных фигур.

При определении площадей сложных фигур часто их можно разбить на более простые, определить их площади и затем сложить. Но в ряде случаев можно пользоваться и формулой Пика. Она подходит для фигур, нарисованных на клетчатой бумаге, и невырожденых -площадь фигуры ненулевая,  все вершины имеют целые координаты, а стороны не пересекают друг друга.

Здесь V - число целочисленных точек внутри фигуры (целочисленные точки - это узлы нашей решетки), G - число целочисленных точек на границе фигуры (на линиях, ограничивающих фигуру). Применять формулу для фигур, содержащих элементы круга не стоит - речь идет о фигурах, полученных при пересечении прямых.

Однако сначала разберем простые случаи.

24. Определите площадь изображенной на клетчатой бумаге фигуры. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

Видно, что фигура состоит из двух треугольников, причем площадь маленького нужно вычесть из площади большого. Определяем площади, большой треугольник: . Малый треугольник: . Вычитаем из большей площади меньшую: 4. Ответ: 4.

Попробуем воспользоваться формулой Пика:  . Внутри фигуры три узла решетки, на границе - 4. Тогда площадь:  - как видите, ответ тот же.

25. Определите площадь квадрата, размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

Очень хочется повернуть квадрат так, чтобы стоял на стороне, и сказать, что сторона равна 3, а площадь - 9. Но это не так. Определим длину стороны квадрата по теореме Пифагора:  . Тогда площадь этого квадрата равна 10. Ответ: 10.

Получится ли такой же ответ по нашей волшебной формуле? Внутри фигуры девять узлов решетки, на границе - 4 (вершины квадрата). Тогда площадь: .

26. Определите площадь заштрихованной фигуры, размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

При отыскании площади такой фигуры принцип тот же: находим площадь большого квадрата и вычитаем площадь малого.

Сторона большого квадрата:  , значит, его площадь - 18 кв. см.

Сторона малого:  , его площадь 8 кв. см.

Разность площадей составляет 10 кв. см - это и есть искомая площадь.

По формуле Пика площадь этой фигуры определить нельзя: верный ответ не получится, так как, строго говоря, здесь не одна фигура, а две.

27. Определите площадь кольца.  Размер клетки 1 см. В ответ запишите площадь  в кв. см, деленную на  .

Здесь легко по клеткам определить радиус как большего, так и меньшего круга, посчитать их площади и затем вычесть одно из другого.

Больший круг:  

Меньший круг: 

Разность составляет:  . В ответ записываем найденную площадь, деленную на число  : 3

28. Определить площадь изображенной на клетчатой бумаге фигуры. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

Эту фигуру можно разбить на три треугольника и определить сумму их площадей: 3+1+1=5.

По формуле Пика имеем то же самое:  . Внутри фигуры два узла решетки, на границе - 8. Тогда площадь:  -  ответ тот же.

 

29. Определить площадь изображенной на клетчатой бумаге фигуры. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

В этом случае надо еще придумать, как разбить нашу фигуру на более простые. Нужно сделать это так, чтобы площади определялись точно, без "ну, там примерно полклеточки". И это не обязательно должны быть треугольники!

Это могут быть  трапеция и треугольник, а площадь трапеции мы уже научились находить. Но в этом случае точно определить площадь можно только разбив фигуру на треугольники: у меня вышло 4 кв. см.

По формуле Пика: внутри два узла решетки, на границе - 6. Тогда площадь: . Ответ: 4

30. Самостоятельно определите площадь фигуры удобным вам способом:

 Ответ - в конце статьи.

31. Вот такая интересная фигура встретилась на пробном ЕГЭ в 2014 году одному из учеников:

Как тут быть? Можно вычленить полный круг и определить его площадь, но остается еще "рыбий хвост" - этакий сдавленный ромб, и как определить его площадь?

Этот "хвост" - круг, из которого вырезали 8 сегментов - см. рисунок, а площадь сегмента - это площадь сектора (в нашем случае - четверть круга) минус площадь треугольника (красными линиями). Считаем: "тело" рыбы - полный круг. Радиус его 2 клетки, площадь тогда  . Площадь сектора -  , площадь треугольника - 2. Площадь сегмента равна:  , а восьми сегментов -  . Площадь "хвоста":

. Соединим "хвост" и "тело":  .

Ответ: 16

Ответ на 9 задачу: 1,5

Ответ на 10 задачу: 1/2

Ответ на 30 задачу: 5

Если что-то все же осталось непонятно, задавайте ваши вопросы в комментариях, я обязательно отвечу!