Уравнения. ОГЭ 4.

 

 

Начнем разбор заданий с уравнений, а потом перейдем и к неравенствам.

1. Решите уравнение:  

Чтобы решить такое уравнение, раскроем скобки справа и перенесем все влево:

Видим, что наше уравнение стало линейным:

Можно перенести 5 вправо, и разделить на (-5):

А можно вынести (-5) за скобку, и получить тот же ответ:

Ответ: 1.

2. Решите уравнение:  

Есть два способа решить данное уравнение: раскрыть скобки, вспомнив формулы квадрата разности и квадрата суммы, а можно воспользоваться формулой разности квадратов. Решим обоими способами. Раскрываем скобки:

Делим на 24:

Откуда: 

Теперь второй способ:

Раскрываем разность квадратов:

Упрощаем:

Первый множитель - 12 - не равен 0, значит, нулю равен второй множитель:

, откуда  .

Ответ: -4

3. Решите уравнение:  

Это, очевидно, линейное уравнение. Вынесем х за скобку:

Сложим дроби, приведя все к одному знаменателю:

Разделим уравнение на :

Разделить на дробь - значит, умножить на перевернутую:

Ответ: 

 

 

4. Решите уравнение:  

Можем здесь воспользоваться свойством пропорции, так как неизвестные - в числителе (это то же самое, что привести к одному знаменателю):

Теперь раскрываем скобки:

Слагаемые, содержащие неизвестные - влево:

Ответ: 4/3 - вероятно, для  записи в бланк такого ответа должно быть указано: "ответ округлите до..." или "запишите ответ, умноженный на 3"

5. Решите уравнение:  

Особенность этого уравнения - то, что неизвестное находится в знаменателе. Поэтому перенесем все влево и приведем к общему знаменателю:

Разделим на 11 и умножим на 5:

Или:

Дробь  равна нулю, когда числитель равен 0, а знаменатель не теряет смысла: , 

Ответ: -10.

6. Решите уравнение:  

Опять видим неизвестное в знаменателе, поэтому - все влево и приводим к общему знаменателю:

Упрощаем:

Дробь  равна нулю, когда числитель равен 0, а знаменатель не теряет смысла: , 

Ответ: 16

7. Какое из следующих уравнений имеет иррациональные корни?

1) 

2) 

3) 

4) 

Чтобы выяснить, являются ли корни иррациональными, нужно вычислить дискриминант и посмотреть, можем ли мы извлечь из него корень:

- дискриминант отрицательный, корни мнимые.

- дискриминант положительный, но корень из числа 129 извлечь нельзя, поэтому корни иррациональные.

- дискриминант положительный, корень извлекается, значит, корни уравнения - действительные числа.

- дискриминант равен 0, корень единственный, действительный.

Ответ: 2.

8. Какое из следующих уравнений имеет корни и ?

1) 

2) 

3) 

4) 

Есть два пути решения: либо решаем все уравнения, либо подставляем в каждое из них  и . Очевидно, что 0 подставить проще.

Подстановка ноля показывает, что второе и четвертое уравнения отпадают, 0 не является корнем для них.

Остались первое и третье, и давайте вынесем х за скобку в том и другом случаях:

1) , откуда  - второй корень положительный, это нас не устраивает.

3) , откуда  - это уравнение подходит.

Ответ: 3.

9. Установите соответствие между уравнением и числом его корней:

1) 

2) 

3) 

Количество корней: 1)  2                         2) 3                  3) 0                4) 1

Мы знаем, что количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта уравнения: если  - корни мнимые (действительных корней нет), если  - корень один, если  - корней 2. При этом нас не интересует, будут ли эти корни иррациональными, или нет.

Определим дискриминант для каждого уравнения:

- дискриминант положительный, корней 2.

- дискриминант отрицательный, корней нет.

- дискриминант равен 0, корень единственный, действительный.

Ответ: 234

10. Найдите корни уравнения: .

Хорошее уравнение. Почему? Потому что сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна 0: . В этом случае один корень равен 1, а второй - c/a (подробнее здесь):

. Можно проверить корни и по теореме Виета.

Ответ: 

11. Найдите корень уравнения: 

Ну и самое простое в конце: линейное уравнение. Переносим слагаемые с неизвестными влево, числа - вправо.

Ответ: 19