Задачи с фантазией - 31

Разобьем фигуру на трапеции: $ABQ_1P_1$, $P_1Q_1Q_2P_2$, $ Q_2P_2P_3Q_3$, $P_3Q_3DC$.

Разбили на трапеции

Тогда площадь треугольника $ABO$ равна площади треугольника $OQ_1P_1$, площадь треугольника $P_1MQ_1$ таким образом равна 11. Тогда и площадь $MP_2Q_2$ равна 11. Аналогично площадь $DKC$ равна площади $KQ_3P_3$, поэтому площадь $NP_3Q_3$ равна 7. А эта площадь в свою очередь равна площади $NP_2Q_2$. Таким образом, $x=18$.

Ответ: 18.

Рассмотрим треугольники $AKF, FPD, DLC, CNB, BAM$. Сумма углов в этих пяти треугольниках равна $5\cdot 180^{\circ}=900^{\circ}$.

Запишем эту сумму:

$$\alpha+\beta+\gamma+50^{\circ}+30^{\circ}+2a+2b+2c+2d+2e=900^{\circ}$$

Обозначим углы

Но сумма углов пятиугольника в центре равна $540^{\circ}$, а это

$$(180^{\circ}-a)+ (180^{\circ}-b) +(180^{\circ}-c)+ (180^{\circ}-d)+ (180^{\circ}-e)= 540^{\circ}$$

Откуда

$$a+b+c+d+e=360^{\circ}$$

Тогда

$$\alpha+\beta+\gamma=900^{\circ}-80^{\circ}-2(a+b+c+d+e)=820^{\circ}-2\cdot 360^{\circ}=100^{\circ}$$

Ответ: $\alpha+\beta+\gamma=100^{\circ}$.

$EB$ - медиана прямоугольного треугольника и равна половине гипотенузы. Так что

$$EB=CB=BD$$

Треугольники $AEB$ и $EBD$ - равнобедренные. Обозначим их углы $\alpha$ и $\beta$.

Равные углы при основаниях равнобедренных треугольников

Из прямоугольного треугольника $CED$ угол $C$ равен $90^{\circ}-\alpha$, а из треугольника $ABC$ угол $C$ равен $60^{\circ}-\beta$. То есть

$$90^{\circ}-\alpha=60^{\circ}-\beta$$

$$30^{\circ}=\alpha-\beta$$

В треугольнике $AOB$ угол $O$ равен $180^{\circ}-\beta-\alpha$, а в четырехугольнике $ECBO$ сумма углов равна 360^{circ}. Углы $E$ и $B$ забрали на себя $210^{\circ}$, поэтому

$$\angle O+\angle C=150^{\circ}$$

$$180^{\circ}-\beta-\alpha+90^{\circ}-\alpha=150^{\circ}$$

$$120^{\circ}-\beta-2\alpha=0$$

Имеем систему:

$$\begin{Bmatrix}{30^{\circ}=\alpha-\beta }\\{ 120^{\circ}-\beta-2\alpha=0}\end{matrix}$$

Решаем систему и получаем

$$\alpha=50^{\circ}$$

$$\beta=20^{\circ}$$

Ответ: угол $CAB=20^{\circ}$.