Задачи С6 - ОГЭ 2015. Трапеция.

1. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если .

Задача 1

Сумма углов при боковой стороне трапеции, как известно, равна . Каждая из биссектрис разделит свой угол пополам, поэтому сумма углов FBA и BAF будет равна , и значит, треугольник BAF - прямоугольный, и его гипотенузу АВ можно определить по теореме Пифагора:

Ответ: 26.

2. Боковые стороны AB  и CD трапеции ABCD равны соответственно 36 и 39, а основание ВС  равно 12. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Задача 2

Так как по условию  АК=КB=18, то точка К - один из концов средней линии. Проведем среднюю линию трапеции. Тогда L - середина CD, и CL=LD=19,5. Образовался треугольник KLD, который является равнобедренным: биссектриса KD разделит угол ADC пополам, а углы KLD и KAD равны как накрестлежащие. Тогда средняя линия этой трапеции равна 19,5, а это значит, что нижнее основание равно 27 - тогда полусумма оснований будет равна 19,5.

Проведем высоты трапеции. Высоты отсекут от нижнего основания трапеции отрезки  AM  и ND, которые мы обозначим a и b. Тогда высоту трапеции можно записать для прямоугольного треугольника ABM:

Высоту можно записать и в треугольнике CND:

Приравняем данные два выражения: 

Это выражение можно переписать так: 

А теперь разложим правую и левую части как разность квадратов: 

Сумму отрезков a и b легко определить как разность оснований трапеции: 

Подставим данную сумму в предыдущее уравнение:   , или  .

Составим систему:  

Сложив два уравнения системы, найдем:  ,  .

Теперь можно найти высоту трапеции и ее площадь:  ,  .

.

Ответ: 702.

3. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 9, а средняя линия равна 6.

Задача 3

Для того, чтобы решить эту задачу, сделаем "финт ушами": перенесем диагональ BD вправо на длину верхнего основания трапеции ВС, образовав таким образом треугольник ACD':

Сторона АС нашего треугольника является диагональю трапеции и равна 15, сторона СD' - это вторая диагональ, равная 9. Основание треугольника AD'- сумма длин оснований трапеции, а так как нам известна средняя линия, то можно узнать и сумму оснований: . Таким образом, в треугольнике ACD' мы знаем длины всех его сторон.

Теперь вернемся к цели задачи: надо определить площадь трапеции. Она равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции. Но площадь треугольника ACD' равна половине произведения основания на высоту, а высота у него такая же, как и у трапеции, и половина основания - ни что иное, как средняя линия трапеции, или полусумма ее оснований! То есть искомая площадь трапеции и площадь треугольника ACD' равны. Осталось найти площадь треугольника ACD', для этого воспользуемся формулой Герона:

. Здесь p - полупериметр, в нашем случае половина периметра равна

Тогда: 

Ответ: 54.

4. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD пересекаются в точке G. Найдите FG, если основания равны 16 и 30, боковые стороны 13 и 15.

Задача 4

Как уже было пояснено в задаче 1, треугольники ABF и CDG - прямоугольные, это нам пригодится попозже. А сейчас рассмотрим треугольник ABM. Он равнобедренный, так как угол ABM равен углу MBC по условию, а угол AMB равен углу MBC как накрестлежащий. Аналогично и треугольник CDN также является равнобедренным по тем же соображениям. Тогда AM=AB=13, CD=DN=15, а отрезок . Так как треугольник ABM равнобедренный, а треугольник ABF - прямоугольный, то отрезок AF является высотой, а также и медианой треугольника ABM и делит его сторону BM  пополам: BF=FM. Так же DG является высотой и медианой треугольника CDN, и делит NC пополам: NG=CG. Тогда можно заметить, что FG - средняя линия трапеции BMNC, и тогда она равна полусумме оснований:

Ответ: 9.

5. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке E. Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD пересекаются в точке F. Найдите EF, если средняя линия равна 21, боковые стороны 13 и 15.

Задача 5

Решение этой задачи похоже на решение предыдущей. Опять биссектрисы отсекут равнобедренные треугольники ABM и CDN: AM=AB=13, CD=DN=15. Так как треугольник ABM равнобедренный, а треугольник ABE - прямоугольный, то отрезок AE является биссектрисой, высотой, а также и медианой треугольника ABM и делит его сторону BM  пополам: BE=EM. Так же DG является биссектрисой, высотой и медианой треугольника CDN, и делит NC пополам: NF=CF. Тогда KE - средняя линия треугольника ABM, и равна половине основания: , а FT - средняя линия треугольника NCD: .

Найдем EF: 

6. Углы при одном из оснований трапеции АВСD равны 53 и 37 градусов, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

Посмотрим на рисунок. Для начала предположим, что средняя линия NM=6, а вторая линия, соединяющая середины оснований HS=2.

Задача 6

В условии этой задачи самое важное - это сумма углов при основании. Если заметить, что сумма этих углов равна 90 градусам - догадаться, как решается задача, совсем просто. Достроим нашу трапецию до треугольника. Треугольник ATD - прямоугольный (по теореме о сумме углов треугольника).  Треугольники ATD, NMT, BTC подобны (по двум углам, так как углы при основаниях этих треугольников - соответственные, а прямые BC, NM, AD - параллельны по условию). Так как треугольник ATD - прямоугольный, то, если описать около него окружность, то ее центр будет лежать на середине гипотенузы AD, в точке H, AD - диаметр этой окружности. Поэтому, если провести медиану к гипотенузе AD из вершины T, то она будет равна радиусу окружности и половине AD: . Тогда треугольники ATH, NOT, BST - равнобедренные. Кроме того, ОТ - медиана треугольника NMT и разделит его основание пополам: . Если же OT=3, то . (Отрезок SO равен 1, так как OM - средняя линия трапеции HSCD, и разделит HS пополам). Так как , то BC=4, и тогда из теоремы о средней линии AD=8.

Если немного подумать, то понятно, что ситуация, когда отрезок HS=6, а NM=2 - невозможна.

Ответ: 4, 8.