Разделы сайта

Категория:

Геометрическая задача повышенной сложности (25) ...

Задачи С6 - ОГЭ 2015. Разные задачи.

03.01.2015 13:47:19 | Автор: Анна

1. В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника АВС.

Задача 1

ВО - биссектриса и высота (по условию), тогда для треугольника ABD она является медианой, и AO=OD=14. Также из этого следует, что треугольник AOB равен треугольнику BOD (по первому, или по второму признаку - общая сторона ОВ, равные углы АВО и OBD, прямые углы AOB и BOD, АО=OD). Тогда АВ=BD.

Проведем DP параллельно BF. Тогда для треугольника BFC DP является средней линией, и, поскольку DF=28, то DP=14, а также FP=PC. Так как AO=OD, то для треугольника ADP OF - средняя линия, и она равна половине основания: OF={1/2}DP=7 . Кроме того, в этом треугольнике AF=FP. Найдем ОВ: OB=BF-OF=28-7=21 .

По теореме Пифагора для треугольника BOD: $BD=sqrt{OB^2+OD^2}=sqrt{21^2+14^2}=7sqrt{13}$ , BC=2BD=14sqrt{13}

Мы установили, что AF=FP=PC. В прямоугольном треугольнике ADP можем определить гипотенузу: $AP=sqrt{AD^2+DP^2}=sqrt{28^2+7^2}=14sqrt{5}$ , AF=7sqrt{5} , AC=3AF=21sqrt{5} .

Ответ: AB=7sqrt{13} , BC=14sqrt{13} , AC=21sqrt{5}

2. В выпуклом четырехугольнике ABCD отмечены точки K, L, M, N – середины сторон AD, AB, BC и CD соответственно. Расстояние между точками K и L равно 6, между точками K и N – 12. Найдите периметр четырехугольника KLMN и его площадь, если диагонали AC и BD образуют угол в 30{circ} .

Задача 2

Диагонали AC и BD делят наш четырехугольник на два треугольника каждая: диагональ АС - на треугольники АВС и ACD, диагональ BD - на треугольники ABD и BCD. Рассмотрим эти пары треугольников. В треугольнике ABC LM - средняя линия, следовательно, она параллельна основанию, и равна его половине. В треугольнике ACD KN - средняя линия, и она также параллельна основанию и равна его половине. Получается, что LM параллельна KN и KN=LM. Аналогичные рассуждения для треугольников ABD и BCD приводят нас к тому, что KL=MN, KL параллельна MN. Мы доказали, что четырехугольник KLMN - параллелограмм. Если известны две его стороны, найти периметр несложно: P=KL*2+KN*2=2*6+2*12=36 . Площадь найдем, воспользовавшись тем, что угол между смежными сторонами параллелограмма KLMN равен 30circ , так как его стороны параллельны диагоналям четырехугольника ABCD. Тогда S=KL*KN*sin{alpha}=6*12*0,5=36

3. В выпуклом четырехугольнике ABCD отмечены точки K, L, M, N – середины сторон AD, AB, BC и CD соответственно. Найдите отношение площади четырехугольника ABCD к площади четырехугольника KLMN.

Задача 3

В этой задаче мы не будем доказывать, что KLMN - параллелограмм, это мы уже сделали ранее. Найдем отношение площадей четырехугольников ABCD и KLMN. Площадь треугольника MCN равна 1/4 площади треугольника BCD (так как MN - средняя линия, и вдвое короче, чем BD, то коэффициент подобия равен 1/2, а площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть $S_Delta{MCN}/S_Delta{BCD}=(1/2)^2=1/4$ .

Аналогичные рассуждения приведут нас к тому, что площадь треугольника ALK вчетверо меньше, чем площадь треугольника BAD: $S_Delta{ALK}/S_Delta{ABD}=(1/2)^2=1/4$ . Тогда $S_Delta{ALK}+S_Delta{MCN}={1/4}(S_Delta{ABD}+S_Delta{BCD})={1/4}S_ABCD$ . Теперь рассмотрим треугольники ABC и LBM, а также треугольники ACD и KND. $S_Delta{KND}+S_Delta{LBM}={1/4}(S_Delta{ABC}+S_Delta{ACD})={1/4}S_ABCD$ . Сложим площади маленьких треугольников: LBM, MCN, KND, ALK: $S_Delta{ALK}+S_Delta{MCN}+S_Delta{LBM}+S_Delta{KND}={1/4}S_ABCD+{1/4}S_ABCD={1/2}S_ABCD$ .

Площадь четырехугольника KLMN: $S_KLMN=S_ABCD-{1/2}S_ABCD={1/2}S_ABCD$ .

Отношение площадей: $S_ABCD/{S_KLMN}=S_ABCD/{{1/2}S_ABCD}=2$ .

4. Диаметр шара 25 см. Через точку В поверхности шара, находящуюся на расстоянии 15 см от одного из концов диаметра шара, проходит плоскость, перпендикулярная диаметру. Вычислить площадь сечения шара данной плоскостью.

Задача 4

Искомое сечение показано красным цветом. Точка В в 15 см от конца диаметра А, радиус шара равен половине диаметра: 12,5 см. Треугольник ОАВ равнобедренный (две его стороны - радиусы шара). Нас интересует высота этого треугольника - это радиус сечения, которое представляет собой, очевидно, круг.

Чтобы определить высоту треугольника, неплохо бы знать его площадь. Определим площадь треугольника ОАВ по формуле Герона. Полупериметр: p={a+b+c}/2={12,5+12,5+15}/2=20 . Площадь: $S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=sqrt{20(20-12,5)^2*(20-15)}=7,5*2*5=75$ . Теперь, из классической формулы для площади треугольника, {h/2}=S/a , h=2S/a=2*75/{12,5}=12