Задачи от Math-досуг: опять площади... и опять длины... и углы.

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Введем обозначения $R$ - для радиуса большой окружности, $r$ - для малой. После введения обозначений видим прямоугольный треугольник, для него

$$(R-r)^2-r^2=(1,5r)^2$$

Сделаем некоторые построения и выводы

Но

$$R=1+1,5r$$

Тогда

$$(1+0,5r)^2-r^2=(1,5r)^2$$

$$0,25r^2+r+1-r^2=2,25r^2$$

$$3r^2-r-1=0$$

Откуда

$$r=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$$

А ищем мы $3r$, то есть

$$3r=\frac{3+3\sqrt{13}}{2}$$

Ответ: $1,5+1,5\sqrt{13}$

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Пусть сторона правильного шестиугольника $a$, тогда $AC=\frac{a}{2}$. Определяем $AB$. Как видно, это две высоты правильных треугольников со стороной $a$, то есть

$$AB=2h=2\cdot a\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$$

Несколько отрезков построим дополнительно

Тогда искомый тангенс

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{AB}{AC}=\frac{ a\sqrt{3}}{\frac{a}{2}}=2\sqrt{3}$$

Ответ: $\operatorname{tg}\alpha=2\sqrt{3}$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Если представить отрезки известной длины резиночками, то понятно, что при смещении точки их скрепления в центр квадрата они все будут иметь длину 4. Диагональ квадрата, таким образом, равна 8, а его площадь

$$S=\frac{1}{2}\cdot 8^2=32$$

Ответ: 32.