Задачи на нахождение площадей разных фигур, а также длин и углов...

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Площадь большого треугольника (площади частей которого известны) равна 108 и он подобен малому с площадью 12. Коэффициент подобия между ними равен

$$k_1^2=\frac{12}{108}=\frac{1}{9}$$

$$k_1=\frac{1}{3}$$

Аналогично, маленький треугольник с площадью 3 подобен большому с площадью 108, и коэффициент подобия

$$k_2^2=\frac{3}{108}=\frac{1}{36}$$

$$k_2=\frac{1}{6}$$

Поэтому, если сторона прямоугольника $3x$ - приняли произвольно, лишь бы подсчеты были удобными), то основание малого треугольника должно быть равно $0,6x$, тогда отношение оснований малого и большого треугольников как раз и будет $\frac{1}{6}$. Ну а основание треугольника с площадью 12 должно быть равно тогда $1,2x$ - это как раз втрое меньше основания большого треугольника. Основание темно-желтого треугольника будет равна $2,4y$.

Теперь разбираемся с вертикалями, используя те же коэффициенты подобия. Пусть высота (вертикальный катет) большого треугольника $9y$, тогда сторона прямоугольника $6y$, а высота зеленого треугольничка $3y$. Высота светло-желтого треугольничка - $1,5y$, а высота темно-желтого - $4,5y$.

Можно, наконец, определить искомую площадь:

$$S_{isk}=4,5y\cdot 2,4x \cdot \frac{1}{2}=5,4xy$$

Так как площадь большого треугольника

$$S_b=108=\frac{1}{2}\cdot 3,6x\cdot 9y$$

То произведение

$$xy=6\frac{2}{3}$$

Подставим это в искомую площадь:

$$ S_{isk}=5,4xy=5,4\cdot 6\frac{2}{3}=36$$

Ответ: 36.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. У фиолетового и зеленого прямоугольников одна высота, а значит, основания относятся как их площади – то есть 2:3. То же можно сказать и про голубой и рыжий прямоугольники  - основания относятся как 3:2. Пусть основание фиолетового $4y$, а основание зеленого - $6y$. Тогда основание голубого - $6y$, а рыжего - $4y$. Тогда $x=6y-4y=2y$. Общая площадь квадрата 100, значит, его сторона 10.

$$10y=10$$

$$y=1$$

$$x=2$$

Ответ: $x=2$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Сразу обращаем внимание на подобие малого треугольника и большого: оба прямоугольные, с острым углом $\alpha$. Если обозначить катет большого треугольника за $y$, то можно составить соотношение сходственных сторон:

$$\frac{y}{x}=\frac{3x}{y}$$

Откуда

$$y=\sqrt{3}x$$

Тогда

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$\alpha=30^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=30^{\circ}$.

Задача 4.

Рисунок к задаче 4

Решение. Используем свойство биссектрисы:

$$\frac{5}{x}=\frac{\sqrt{(x+5)^2+6^2}}{6}$$

$$30=x\sqrt{(x+5)^2+6^2}$$

Возводим в квадрат:

$$900=x^2((x+5)^2+6^2)$$

Получаем уравнение:

$$x^4+10x^3+61x^2-900=0$$

Нам везет, и подбор дает корень $x=3$.

$$x^4+10x^3+61x^2-900=(x-3)(x^3+13x^2+100x+300)$$

Ответ: $x=3$, проверка подстановкой подтверждает результат.