Задачи из группы Math-Досуг: площади и снова площади

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Окружности имеют один и тот же радиус, пусть он равен стороне квадрата и равен $a$. Тогда площадь круга (полная) $S_0=\pi a^2$, а площадь четвертинки - $\frac{\pi a^2}{4}$. Точка пересечения окружностей задаст правильный треугольник, площадь которого $a^2\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площади секторов

Так как угол правильного треугольника $60^{\circ}$, то площадь сектора круга (выделен сиреневым цветом) - $\frac{1}{6}$ часть круга. А площадь двух малых секторов (оранжевых) в сумме дает также $\frac{1}{6}$ часть круга. Таким образом, чтобы найти площадь зеленой области, надо из площади квадрата вычесть две площади рыжих секторов и площадь треугольника:

$$S_{zel}=a^2-2\cdot \frac{\pi a^2}{12}- a^2\frac{\sqrt{3}}{4}$$

По условию $a^2=1$, поэтому

$$S_{zel}=1-\frac{\pi}{6}- \frac{\sqrt{3}}{4}$$

Ответ: $S_{zel}=1-\frac{\pi}{6}- \frac{\sqrt{3}}{4}$

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Сразу же выполним дополнительные построения:

Разбили на два треугольника

Длины отрезков найдены по теореме Пифагора.

Для треугольника с углами $\alpha$ и $\beta$ запишем теорему Пифагора:

$$(y+x)^2+(y-\sqrt{5^2-x^2})^2=121$$

$$y^2+2xy+x^2+y^2-2y\sqrt{5^2-x^2}+25-x^2=121$$

$$2y^2+2xy-2y\sqrt{5^2-x^2}=96$$

$$y^2+xy-y\sqrt{5^2-x^2}=48~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Пока отложим это. И определимся с площадью, которую в итоге надо найти. Она состоит из площадей двух треугольников:

$$S_{isk}=\frac{(y-\sqrt{5^2-x^2})(y+x)}{2}+\frac{\sqrt{5^2-x^2}\cdot x}{2}$$

$$ S_{isk}=\frac{y^2+yx-x\sqrt{5^2-x^2}-y\sqrt{5^2-x^2}+x\sqrt{5^2-x^2}}{2}=\frac{y^2+yx-y\sqrt{5^2-x^2}}{2}$$

Последнее выражение – ровно половина выражения (1). То есть

$$ S_{isk}=24$$

Ответ: 24.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Пусть сторона большого квадрата $x$, а малого - $y$. Достраиваем до прямоугольника:

Дополняем до прямоугольника

Площадь прямоугольника

$$S_0=x(x+4+y)$$

$$S_{ABC}=\frac{x(x+4)}{2}$$

$$S_{CDF}=\frac{y(4-y)}{2}$$

$$S_{DEG}=\frac{y(4+y)}{2}$$

$$S_{AGK}=\frac{x(x-4)}{2}$$

Площадь малого прямоугольника:

$$S_{pryam}=(x-4)(y+4)$$

Осталось вычесть все ненужное из площади большого прямоугольника:

$$S_{isk}=S_0- S_{ABC}- S_{CDF}-S_{DEG}- S_{AGK}- S_{pryam}$$

$$S_{isk}= x(x+4+y)- \frac{x(x+4)}{2}-\frac{y(4-y)}{2}-\frac{y(4+y)}{2}-\frac{x(x-4)}{2}-(x-4)(y+4)$$

$$S_{isk}=x^2+4x+xy-\frac{x^2}{2}-2x-2y-\frac{y^2}{2}-2y-\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}+2x-(xy+4x-4y-16)=16$$

Ответ: $S_{isk}=16$.