Задачи группы Math-Досуг: определение углов и площадей

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Если сторона большого квадрата $2a$, то радиус круга $a$, и его площадь $\pi a^2$. Площадь большого квадрата $(2a)^2=4a^2$, площадь зеленой области равна

$$S_{zel}=4a^2-\pi a^2$$

Площадь внутреннего квадрата найдем как площадь ромба через половину произведения диагоналей. А диагональ равна диаметру круга, то есть $2a$.  

Площадь желтой области

$$S_{zhelt}=\pi a^2-\frac{1}{2}\cdot (2a)^2=\pi a^2-2a^2$$

Осталось сравнить, а именно сравнить числа $4-\pi$ и $\pi-2$. Второе больше.

Ответ: Площадь желтой области $S_{zhelt}=\pi a^2-2a^2$ больше, чем площадь зеленой $S_{zel}=4a^2-\pi a^2$.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Зеленый и синий треугольники подобны. Площади относятся как $\frac{S_1}{S_2}=\frac{18}{50}=\frac{9}{25}$. А площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно, $k=\frac{3}{5}$.

Обозначим отрезки

Итак, у нас есть

$$\frac{1}{2}ab \sin \alpha=18$$

$$\frac{1}{2}cd \sin \alpha=50$$

А нам надо найти $\frac{1}{2}bc \sin \alpha$.

Но ведь синус можно и обойти! У синего и красного треугольников одна и та же высота! То есть

$$dh=100$$

$$bh=0,6d\cdot h=60$$

А искомое - $\frac{1}{2}bh=30$.

Ответ: 30.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Обозначим угол $A=\alpha$. Тогда

Обозначаем углы. Используем внешние углы треугольников

Внешний угол треугольника $KLM$ равен $\angle OKM=4\alpha$, отрежем от него $\alpha$, $\angle OKA=\angle GKL=3\alpha$.

Используем внешние углы треугольников

Аналогично, внешний угол треугольника $KLG$ равен $6\alpha$, продлим $KL$ и отрежем угол $\angle KLM=2\alpha$, тогда $\angle GLD=4\alpha$.

Проделаем эту операцию еще раз:

Окончательное "распределение" углов

Таким образом,

$$\alpha+5\alpha=90^{\circ}$$

$$\alpha=15^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=15^{\circ}$