Задача о прямоугольной трапеции - С6 ГИА 2014

Задача не самая сложная, однако требует внимательности при алгебраических упрощениях.

Дана трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В эту трапецию вписана окружность радиуса r. Необходимо найти этот радиус, если известно,что площадь одного из треугольников, образованных пересекающимися диагоналями, равна S.

Сделаем чертеж:

Чертеж к задаче

Фиолетовым цветом помечены диаметры окружности, между прочим, высота трапеции - как раз диаметр окружности, или два радиуса. Площадь треугольника MBC, образованного пересекающимися диагоналями и боковой стороной трапеции,  равна S (из условия задачи). Можно также заметить, что площадь второго треугольника, выделенного зеленым цветом - AMD - также S. Почему? Рассмотрим треугольники АВС и ABD. Их площади равны, так как у них общее основание - АВ - и равные высоты (высота трапеции - 2r). Тогда их площади равны. В состав треугольника ABC входят треугольники AMB и BMC, в состав ABD - треугольники AMB и AMD. Тогда, если вычесть площадь треугольника AMB, то и получится: .

Тогда площадь нашей трапеции можно записать, с одной стороны, по всем известной формуле, а с другой - как сумму площадей треугольников.

Обратим внимание также на то, что основания трапеции содержат в себе радиус окружности и еще отрезок (a или b). Эти два отрезка в сумме образуют вторую боковую линию трапеции, которая не является перпендикулярной основаниям - по свойству касательных к окружности. Теперь почти вся необходимая теория записана, и можно начать составлять уравнения, которые позволят эту задачу решить. Поскольку дана площадьS треугольника BMC, то и отталкиваться мы будем от площади.

Сначала запишем площадь трапеции как полусумму оснований на высоту: 

Сократим:  

Теперь запишем площадь трапеции как сумму площадей треугольников: . Здесь нам нужно приостановиться -  для того, чтобы найти площади треугольников DMC и AMB. Их площади равны половине произведения основания на высоту, причем их высоты (обозначим их h и H) в сумме дают высоту трапеции: . Тогда:

Но: у нас два уравнения, и четыре неизвестных - H, h, a,b - и это не считая искомого радиуса! Надо как-то от "лишних" переменных избавиться. Для этого рассмотрим рисунок:

Решение и дополнительные построения

Здесь нас интересует треугольник OBC. Он прямоугольный (доказательство не приводится, это нетрудно увидеть, рассмотрев треугольники, для которых красные линии являются гипотенузами). Голубым цветом выделен радиус окружности r - для треугольника OBC он является высотой. По свойству высоты,опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника из вершины прямого угла, можем записать: .

Но этого по-прежнему мало. Нужно заняться высотами H и h. Вернемся к прежнему рисунку. Треугольники AMB и DMC подобны - по трем углам. Тогда их высоты пропорциональны друг другу, что можно записать так:

или

По правилу пропорции:

Откуда:

Выразим высоту треугольника DMC: , тогда 

В первом уравнении нашей системы приравняем два полученных нами выше выражения для площади трапеции. Тогда уравнение приобретет вид:

или

Раскрываем скобки и упрощаем:

Подставим высоты - H и h.

Снова упрощаем, при этом помня, что . Тогда:

Приводим к общему знаменателю:

Тогда:

Или:

Или:

Откуда, наконец: