Вычисление углов и площадей в задачах группы Math-Досуг

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Давайте отрежем часть от квадрата и приложим иначе:

Отрежем и приложим

Рассмотрим треугольник $AEH$: в нем угол $\angle EAD=20^{\circ}$, $\angle AED=70^{\circ}$, $\angle HAE=45^{\circ}$, $\angle AHD=65^{\circ}$. Кроме того, $AF=AH$, $AE$ - общая с треугольником $AFE$. То еcть треугольник $AEH$ равен треугольнику $AFE$ по первому признаку. Значит, угол $\angle AEF=70^{\circ}$.

Ответ: $70^{\circ}$.

Задача 2.

Рисунок к задаче2

Решение. Рассмотрим треугольник $ABD$. Пусть $AB=a$, тогда сторона квадрата $BD=2a\cos \alpha$.

Обозначим точки

Запишем теорему синусов для этого треугольника:

$$\frac{AB}{\sin BDA}=\frac{BD}{\sin 2\alpha}$$

$$\frac{a}{\sin BDA}=\frac{2a\cos \alpha }{2\sin \alpha\cos \alpha}$$

$$\frac{1}{\sin BDA}=\frac{1}{\sin \alpha}$$

Следовательно, $\sin BDA=\sin \alpha$ и $\angle BDA=\alpha$.

Внешний угол треугольника $ABC$ - угол $\angle ACK=3\alpha$, таков же угол $\angle CDL$ - как соответственный. Таким образом, прямой угол $\angle BDL=4\alpha$, и $\alpha=22,5^{\circ}$.

Ответ: $\alpha=22,5^{\circ}$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение.

Обозначим точки

Площадь треугольника $S_{ABF}=\frac{1}{2}$, так как $BF$ - медиана. $S_{CBF}=\frac{1}{2}$, $BF$ - тоже медиана. Точка $O$ - точка пересечения медиан, и делит их в отношении 2:1, тогда

$$\frac{BO}{FO}=\frac{2}{1}$$

$$\frac{CO}{OD}=\frac{2}{1}$$

Площадь $S_{CFD}=\frac{1}{2}S_{CAD}=\frac{1}{4}$.

В условии дано, что

$$\frac{BE}{EC}=\frac{2}{1}$$

То есть $S_{CEF}=\frac{1}{3} S_{CBF}=\frac{1}{6}$, $S_{BFE}=\frac{2}{3} S_{CBF}=\frac{1}{3}$.

Так как $\frac{BO}{FO}=\frac{2}{1}$, то $S_{FOC}=\frac{1}{3} S_{CBF}=\frac{1}{6}$, $S_{BOC}=\frac{2}{3} S_{CBF}=\frac{1}{3}$.

Отсюда следует, что $S_{FOG}=S_{CGE}$.

Все эти рассуждения хороши, только не привели к успеху – просто очень хотелось обойтись без Менелая. Но нет. Пишем Менелая для треугольника $FBE$ и секущей $CD$:

$$\frac{FO}{OB}\cdot \frac{BC}{CE}\cdot \frac{EG }{FG}=1$$

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{EG }{FG}=1$$

$$\frac{EG }{FG}=\frac{2}{3}$$

Значит, площадь $S_{CEF}=\frac{1}{6}$ разделится 2:3.

$$S_{CGE}=\frac{2}{5} S_{CEF}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{15}$$

Ответ: $ S_{FOG}=S_{CGE}=\frac{1}{15}$