Снова задачки из группы Math-Досуг, тут и длины, и площади, и углы

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Замечаем, что $R+r=1,5y$, где $y$ - указанные на рисунке равные отрезки. Также в большей окружности образовался прямоугольный треугольник (так как отрезок, проведенный из центра окружности к середине хорды, ей перпендикулярен).

Пусть равные отрезки - $y$, обозначаем также радиусы $R$ большой окружности и $r$ - малой.

Для этого прямоугольного треугольника

$$R^2-r^2=\left(\frac{y}{2}\right)^2$$

Или

$$(R+r)(R-r)=\frac{y^2}{4}$$

$$1,5y(R-r)=\frac{y^2}{4}$$

$$6(R-r)=y$$

Используем $R+r=1,5y$ снова, решим два последних уравнения как систему. Сложим их:

$$2R=\frac{y}{6}+1,5y$$

$$R=\frac{5}{6}y$$

Тогда

$$r=1,5y-R=1,5y-\frac{5}{6}y=\frac{2}{3}y$$

Сначала рассмотрим треугольник $ABD$. В нем $AB=r$, $BD=y-r=\frac{1}{3}y$.

Теорема Пифагора для него:

$$AB^2+BD^2=AD^2$$

$$\frac{4}{9}y^2+\frac{1}{9}y^2=7^2$$

$$y^2=\frac{49\cdot 9}{5}$$

Отрезок $x$ найдем в треугольнике $ABC$. В нем $AB=r$, $$BC=R+\frac{y}{2}=\frac{5}{6}y+\frac{3}{6}y=\frac{4}{3}y$$

$$x^2=AB^2+BC^2=\frac{4}{9}y^2+\frac{16}{9}y^2=\frac{20}{9}y^2=\frac{20}{9}\cdot \frac{49\cdot 9}{5}=4\cdot 49$$

Откуда $x=14$.

Ответ: 14.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Имеем кучу подобных треугольников. Например, $ABC$ подобен $CEG$ с коэффициентом 5. Поэтому пусть $BC=x$,  а $CG=5x$. $DEF$ подобен $ABC$ с коэффициентом 2, поэтому $DF=2x$.

Тогда сторона квадрата равна $6x$, а его площадь $36x^2$.

Некоторые дополнительные построения

Проведем $DM$. $CM=3x$, $DM=6x$. Теорема Пифагора для $DMC$:

$$CM^2+DM^2=CD^2$$

$$9x^2+36x^2=9$$

$$x^2=\frac{1}{5}$$

Площадь квадрата

$$S=36\cdot\frac{1}{5}=7,2$$

Ответ: 7,2

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. По условию, $a$ можно разбить на $b$ и $c$. Сделаем это. Образуется правильный треугольник $ABC$.

Дополнительные построения для решения задачи

 Угол $DBC$, следовательно, $120^{\circ}$. Также заметим, что треугольники $ABN$ и $ACN$ равны по первому признаку. Следовательно, $BN=c$. Треугольник $BNC$, таким образом, равнобедренный. Пусть его острый угол равен $\beta$: $\angle NBC=\angle BCN=\beta$. Внешний же угол $\angle DNB=2\beta=\alpha$, так как треугольник $DBN$ тоже равнобедренный. Рассмотрим его. Его острые углы $2\beta$, тупой угол $\angle DBN=120^{\circ}-\beta$. Сумма его углов тогда

$$2\beta+2\beta+120^{\circ}-\beta=180^{\circ}$$

$$3\beta=60^{\circ}$$

$$\beta=20^{\circ}$$

Откуда

$$\alpha=2\beta=40^{\circ}$$

Ответ: $40^{\circ}$.