Снова задачки из группы Math-Досуг: и площади, и углы

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Разбиваем треугольник, у которого при вершине $45^{\circ}$, на два, с углами при вершинах $20^{\circ}$ и $25^{\circ}$.

Разделяем центральный треугольник на два, равных боковым

Образуются пары равных треугольников, и тогда понятно, что $\alpha =65^{\circ}$.

Ответ: $\alpha =65^{\circ}$

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Пусть сторона правильного треугольника $a$, тогда его высота (то есть сторона квадрата) - $CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Отрезок $CD$ (половинка стороны квадрата) равен $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. В треугольнике $CDM$ угол $DCM=60^{\circ}$, поэтому можем найти $DM$:

$$DM=CD \operatorname{tg}60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{3}=0,75a$$

Вводим обозначения

Определим длину отрезка $MK$:

$$MK=DK-DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}-0,75a$$

В треугольнике $MKN$ тоже есть угол $60^{\circ}$, найдем с его помощью $MN$:

$$MN=\frac{2}{\sqrt{3}}MK=a-\frac{\sqrt{3}}{2}a$$

Тогда отрезок $CM$

$$CM=CN-MN=a-\left( a-\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}a$$

То есть $CH=CM$! Треугольник $CHM$ - равнобедренный, с углом $30^{\circ}$ при вершине, значит, при основании $HM$ он имеет углы по $75^{\circ}$.

Ответ: $\alpha=75^{\circ}$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. $AF$ и $DC$ - диагонали прямоугольника. Они разбивают прямоугольник на 4 равновеликих, например, площадь $AOC$ равна 40.

Обозначаем необходимые точки

Площадь $DOF$ тоже равна 40, если же из нее выкинуть синий кусок, то сумма площадей входящих в этот треугольник желтых треугольников равна 28. Площадь треугольника $ABC$ - половина площади прямоугольника, она равна 80. Выкинем из нее площадь $AOC$ и синюю, останется 28. Таким образом, сумма площадей желтых треугольников – 56. Чтобы найти площадь, выделенную зеленым цветом, вычтем из общей площади прямоугольника синюю и желтые:

$$160-56-12=92$$

Ответ: 92.