Снова площади от Math-Досуг и других источников

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Рассмотрим треугольник $ACD$. Если принять $FD=DC=a$, то $AB=BC=a\sqrt{2}$. Тогда теорема косинусов для треугольника $ADC$:

$$AD^2=AC^2+DC^2-2AC\cdot DC\cdot \cos 45^{\circ}$$

$$10^2=(2a\sqrt{2})^2+a^2-2\cdot 2a\sqrt{2} \cdot a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$100=8a^2+a^2-4a^2$$

$$100=5a^2$$

$$a^2=20$$

Площадь всего треугольника

$$S_0=\frac{1}{2}\cdot FC\cdot AF=\frac{1}{2}\cdot 4a^2=2a^2=40$$

Выделенная цветом часть - $\frac{1}{4}S_0$ (половинка от половинки).

Поэтому

$$S=10$$

Ответ: 10.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. надо увидеть подобие. Например, $AFK \sim DFE$. Коэффициент подобия

$$k_1=\frac{AK}{DE}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}$$

Так же будут относиться высоты этих треугольников. Так, если принять всю высоту прямоугольника за 7 частей ($7x$), высота $DFE$ составит 3 части ($3x$), а высота $AFK$ - 4 части ($4x$). Примем длину прямоугольника за $a$. Тогда площадь $DFE$

$$S_{DFE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot 3x=\frac{3}{4}ax$$

Обозначим треугольники

Площадь прямоугольника $a\cdot 7x=7ax$, площадь $DFE$ составит от площади прямоугольника $\frac{3}{28}S$.

Площадь $AFK$ можно вычислить «в лоб», а можно – через коэффициент подобия.

$$\frac{S_{AFK}}{S_{DEF}}=k_1^2=\frac{16}{9}$$

$$S_{AFK}=\frac{16}{9} S_{DEF}=\frac{16}{9}\cdot \frac{3}{28}S=\frac{4}{21}S$$

 Треугольник $DBE \sim ABC$. Коэффициент подобия

$$k_2=\frac{AС}{DE}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$$

Так же будут относиться высоты этих треугольников. Так, если принять всю высоту прямоугольника за 5 частей ($5y$), высота $DBE$ составит 3 части ($3y$), а высота $ABC$ - 2 части ($2y$). Тогда площадь $DBE$

$$S_{DBE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot 3y=\frac{3}{4}ay$$

Площадь прямоугольника $a\cdot 5y=5ay$, площадь $DBE$ составит от площади прямоугольника $\frac{3}{20}S$.

Тогда площадь треугольника $BDF$ равна

$$S_{DBF}= S_{DBE}- S_{DFE}=\frac{3}{20}S-\frac{3}{28}S=\frac{3}{70}S=18$$

Откуда

$$S=420$$

Это полная площадь прямоугольника. Вернемся к треугольникам $AFK$ и $ABC$.

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{3}\cdot 2y=\frac{1}{3}ay$$

Площадь прямоугольника $a\cdot 5y=5ay$, площадь $ABC$ составит от площади прямоугольника $\frac{1}{15}S$.

Площадь четырехугольника $BFKC$ найдем так:

$$S_{ BFKC}=S_{AFK}-S_{ABC}=\frac{4}{21}S-\frac{1}{15}S =\frac{13}{105}S$$

Ну и зная площадь прямоугольника, окончательно находим:

$$S_{ BFKC}=\frac{13}{105}\cdot 420=52$$

Ответ: 52.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Площади треугольников $ABC$ и $CDF$ равны, так как углы $DCF$ и $ACB$ дополняют друг друга до $180^{\circ}$, а синусы таких углов равны, и имеют одинаковые стороны: $AC=CD$ (стороны одного квадрата), $BC=CF$ (стороны другого квадрата).

Дополнительные обозначения

Поэтому

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot CB\cdot \sin \angle ACB=\frac{1}{2}CD\cdot CF\cdot \sin \angle DCF=S_{CDF}=14$$

Аналогично площадь $AMP$ равна площади $QAC$, площадь $KLB$ равна площади $QCB$. Значит, площадь четырехугольника $QACB=21$, а так как площадь $x$ равна площади треугольника $QAB$, то

$$x=S_{QAB}=S_{QACB}-S_{ACB}=21-14=7$$

Ответ: $x=7$.