Снова о площадях

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Площади квадратов 25, $b^2$, $a^2$.

По теореме Пифагора

$$a^2+b^2=25$$

Также известно, что

$$a+b=11$$

Возведем в квадрат:

$$a^2+2ab+b^2=121$$

Подставляем:

$$25+2ab=121$$

$$2ab=96$$

$$ab=48$$

Площадь треугольника, сторонами которого являются стороны квадратов $a$ и $b$, понятно, равна $\frac{ab}{2}=24$. Теперь посмотрим на треугольники, сторонами которых являются $a$ и $5$, $b$ и $5$. Их площади равны

$$S_1=5a\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin \alpha$$

Где $\sin \alpha$ равен синусу угла голубого треугольника с той же вершиной, потому что оба угла дополняют друг друга до $180^{\circ}$!

Площадь голубого треугольника можно считать как $\frac{ab}{2}$, но можно и $\frac{5a}{2}\sin \alpha$, а значит, $S_1=24$. По той же причине площадь тупоугольного треугольника со сторонами $b$ и $5$ тоже равна 24.

Собираем полную площадь:

$$a^2+b^2+25+4\cdot 24=50+96=146$$

Ответ: 146.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Достроим вот так (просто перенос уже имеющихся отрезков)

Дополнительные построения

Тогда диагональ квадрата будет равна

$$d^2=(14+9)^2+7^2=529+49=578$$

Определим сторону квадрата:

$$2a^2=578$$

$$a^2=289$$

Площадь квадрата 289, а его сторона 17. Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $FDC$. Они подобны. Коэффициент подобия равен $k=\frac{9}{14}$. Чтобы найти закрашенную площадь, необходимо из половины площади квадрата вычесть $S_{ABC}$, но прибавить $S_FDC$. Для определения площади определим длины отрезков $BC$ и $DC$:

$$BC+DC=7$$

$$\frac{BC}{DC}=\frac{14}{9}$$

Откуда

$$BC=\frac{7}{23}\cdot 14$$

$$DC=\frac{7}{23}\cdot 9$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{23}\cdot 14^2$$

$$S_FDC=\frac{1}{2}DF\cdot DC=\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{23}\cdot 9^2$$

Искомая площадь равна

$$S_{isk}=\frac{a^2}{2}- S_{ABC}+ S_FDC=\frac{289}{2}+\frac{7\cdot 81-7\cdot 196}{23\cdot 2}=144,5-17,5=127$$

Ответ: 127.

Задача 3.

Найти площадь бежевого четырехугольника.

Рисунок к задаче 3

Решение. Запишем теорему Менелая:

$$\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CD}{DA}\cdot \frac{AE}{EB}=1$$

$$\frac{4}{1}\cdot\frac{1}{6}\cdot \frac{AE}{EB}=1$$

Откуда

$$\frac{AE}{EB}=\frac{3}{2}$$

Площадь треугольника $FCD$ равна 1, так как у него одна и та же высота с треугольником $BFD$, а основание вчетверо меньше. Площадь треугольника $ABC$ равна 25, так как его основание впятеро больше, чем у треугольника $CBD$, а высота у них общая. Полная площадь треугольника $ABD$ равна 30, а площади треугольников $AED$ и $EBD$, как имеющих одну высоту, относятся, как их основания: $ S_{AED}=18$, $S_{EBD}=12$. Тогда $S_{EBF}=8$, а искомая площадь

$$S_{AEFC}= S_{ABC}-S_{BCD}-S_{FCD}=30-12-1=17$$

Ответ: 17.

Задача 4.

Найти площадь трапеции, если верхнее основание впятеро меньше нижнего.

Рисунок к задаче 4

Решение. $AH=2y$, треугольник $AMH$ подобен треугольнику $BMC$ с коэффициентом 2. Поэтому $\frac{BM}{MH}=0,5$. Следовательно, площадь треугольника $S_{ABM}=2$, так как у него общая высота с треугольником $AMH$, и вдвое меньшее основание.

$$S_{ABH}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot 3y=3xy=6$$

Площадь трапеции

$$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{x+5x}{2}\cdot 3y=9xy=18$$

Ответ: 18