Решаю задачки из группы "Math-Досуг"

Задача 1.

 Задача из группы «Math-Досуг»

Задача 1

Решение. Очень простая задача. Площадь квадрата равна 100. Площадь треугольника $BCF$  - четверть квадрата, то есть 25. Площадь треугольника $AFD$  - тоже четверть квадрата, тоже 25.

Дополнительные построения для решения

Площади треугольников $AFK$ и $KFD$ равны, так как у них одна общая высота ($FD$) и равные основания.

$$S_{AFK}=S_{KFD}=\frac{25}{2}=12,5$$

Площади треугольников $ABE$ и $AFE$ равны по той же причине – общая высота и равные основания.

$$S_{ABE}=S_{AFE}=\frac{50}{2}=25$$

Таким образом, $S_{AEFK}= S_{AFE}+ S_{AFK}=25+12,5=37,5$.

Ответ: 37,5

Задача 2.

Задача из группы «Math-Досуг»

Задача 2

Решение. Сторона квадрата - $a=2R$. Отрезок $OA=\sqrt{2}R$. Угол $\angle BAD=15^{\circ}$, значит, угол $\angle OAC=30^{\circ}$.

Для треугольника $OAC$ запишем теорему синусов:

$$\frac{OA}{\sin OCA}=\frac{OC}{\sin 30^{\circ}}$$

$$\frac{R\sqrt{2}}{\sin OCA}=\frac{R}{\sin 30^{\circ}}$$

Проведем несколько дополнительных отрезков

Откуда

$$\sin OCA=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно, угол $\angle OCA=135^{\circ}$.

Треугольник $OCB$ - равнобедренный, с углом $45^{\circ}$ при основании, значит, прямоугольный. И хорда $CB$ тогда равна

$$CB=\sqrt{2}R$$

Определяем отношение

$$\frac{a}{b}=\frac{2R}{\sqrt{2}R }=\sqrt{2}$$

Ответ: $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$.