Решаем занимательную геометрию, готовимся к ОГЭ и ЕГЭ легко!

Задачи из группы ВК «Math-Досуг». Картинки их же.

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Так как треугольники $ABC$ и $KDE$ имеют площади, отличающиеся вдвое, и при этом одну и ту же высоту, то их основания отличаются вдвое. Пусть $BC=x$, тогда $DE=2x$. Если сторона квадрата равна $a$, то

$$ax=8$$

Основание треугольника площадью 3 - $a-3x$. Определим его высоту, $FH$.

Дополнительные построения для решения задачи

Так как треугольник $HCF$ подобен треугольнику $ABC$, а треугольник $HFD$ подобен треугольнику $KDE$, то $2CH=HD$, и $S_{HCF}=1$, а $S_{KDE}=2$. Таким образом, поскольку площадь $ABC$ равна 4, а площадь $HCF$ равна 1, то коэффициент подобия этих треугольников равен 2, и $FH=\frac{a}{2}$.

Запишем площадь $CFD$:

$$S_{CFD}=\frac{(a-3x)\cdot FH}{2}= \frac{(a-3x)\cdot 0,5a}{2}=3$$

$$(a-3x)\cdot 0,5a=6$$

$$(a-3\cdot \frac{8}{a})\cdot 0,5a=6$$

$$0,5a^2-12=6$$

$$0,5a^2=18$$

$$a=6$$

Тогда

$$ a-3x=6-\frac{24}{a}=6-4=2$$

Искомая площадь

$$S_{ACDK}=\frac{2+6}{2}\cdot 6=24$$

Ответ: 24.

Задача 2.

Задача на рисунке ниже:

Рисунок к задаче 2

Решение. Продлим отрезок $NK$ до пересечения с прямой $AD$. Получили равнобедренный треугольник $ANM$, $AM=NM$. Рассмотрим треугольники $DKM$ и $KNC$. Это прямоугольные треугольники, равные по катету и острому углу. Поэтому $DM=b$.

Продлили отрезки до пересечения

$$AD=a+b$$

$$AM=AD+DM=a+2b=NM$$

$$MK=\frac{NM}{2}=b+\frac{a}{2}=KN$$

Так как $ABCD$ - квадрат, то

$$KC=\frac{DC}{2}=\frac{a+b}{2}$$

Для треугольника $KNC$ составим теорему Пифагора:

$$KN^2=KC^2+NC^2$$

$$\left( b+\frac{a}{2}\right)^2=\frac{(a+b)^2}{4}+b^2$$

Раскрываем скобки:

$$ab+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}$$

Откуда

$$4ab+a^2=a^2+2ab+b^2$$

$$2ab=b^2$$

$$2a=b$$

Ответ: $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$.