Разное из группы Math-Досуг: площади, углы, длины - 2

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Обозначим сторону шестиугольника за $a$. Тогда отрезок $AB$ - это две высоты правильных треугольников со стороной $a$, на которые, как известно, можно разбить любой правильный шестиугольник:

$$AB=2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$$

Треугольник $ABC$ - равнобедренный прямоугольный. Поэтому $BC=AB= a\sqrt{3}$. Отрезок $DC$ имеет длину

$$DC=BC-BD= a\sqrt{3}-a$$

Треугольник $ABC$ - равнобедренный

Для треугольника $DCF$ запишем теорему косинусов:

$$FC^2=DF^2+DC^2-2DF\cdot DC\cdot cos FDC$$

$$FC^2=a^2+( a\sqrt{3}-a)^2-2\cdot a(a\sqrt{3}-a)\cdot\frac{1}{2}$$

$$FC^2=6a^2-3\sqrt{3}a^2$$

$$FC=a\sqrt{3}\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}$$

А теперь для этого треугольника запишем теорему синусов:

$$\frac{FC}{\sin 60^{\circ}}=\frac{DF}{\sin\alpha}$$

$$\frac{ a\sqrt{3}\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sin\alpha }$$

$$\sin \alpha =\frac{1}{2\sqrt{2-\sqrt{3}}}$$

Чтобы понять, какой же это угол имеет такой синус, перепишем, во-первых, его так:

$$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$$

Во-вторых, определим синус двойного угла:

$$\cos^ \alpha=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$$

$$\sin 2\alpha=2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}$$

А такой синус у угла $150^{\circ}$. То есть искомый угол - $75^{\circ}$.

Ответ: $75^{\circ}$.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Сторона большого квадрата $a=8$, а малого –

$$a_1=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}$$

Его площадь $S_1=a_1^2=40$. Площадь зеленого треугольника равна 20, так как в его формулу входит $\frac{1}{2}$, а основание и высота у него такие же, как у меньшего квадрата.

Ответ: 20.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, поэтому пусть $AB=AF=k$. Записываем теорему Менелая:

$$\frac{AB}{BC}\cdot \frac{CE}{ED}\cdot \frac{DF}{FA}=1$$

Введем обозначения и применим Менелая

$$\frac{k}{8}\cdot \frac{10+x}{x}\cdot \frac{2}{k}=1$$

$k$ - сокращается, и получаем

$$10+x=4x$$

$$x=\frac{10}{3}$$

Ответ: $x=\frac{10}{3}$

Задача 4.

Рисунок к задаче 4

Решение. Определим угол $ABD$: $\angle ABD=30^{\circ}$. Теперь используем условие: разобьем $BC$ на два отрезка: один равен $AB$, другой - $AD$.

Строим $AK$

Треугольник $ABK$ - правильный, значит, $\angle AKC=120^{\circ}$, $\angle KAC=20^{\circ}$, тогда $\gamma=40^{\circ}$.

Ответ: $\gamma=40^{\circ}$.