Разное из группы Math-Досуг: площади, углы, длины

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Площадь $EFD$ равна $0,25S$, где $S$ - площадь квадрата ($a$ - его сторона). Площадь $ABE$

$$S_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{3}\cdot a=\frac{a^2}{6}=\frac{1}{6}S$$

Площадь $BCD$

$$S_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a}{3}\cdot a=\frac{a^2}{3}=\frac{1}{3}S$$

Искомая площадь

$$S_0=S-\frac{1}{6}S-\frac{1}{3}S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}S$$

Ответ: $S_0=\frac{1}{4}S$.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Понятно, что радиус большего полукруга равен 2, а радиус меньшего 1,5. Проведем $OR=2$ и $RT=1,5$. Пусть $LK=x$, $KG=y$.

Дополнительные построения

Рассмотрим треугольники $ORK$ и $RKT$. Они имеют общий катет $RK$.

$$RK^2=OR^2-OK^2=RT^2-KT^2$$

$$ 2^2-(1+x)^2=1,5^2-(0,5+y)^2$$

Используем то, что $x+y=1$,

$$4-1-2x-x^2=2,25-0,25-y-y^2$$

$$1-2(1-y)-(1-y)^2=-y-y^2$$

$$-1+2y-1+2y-y^2=-y-y^2$$

$$5y=2$$

$$y=0,4$$

$$x=0,6$$

Продлим $RL$ и $RG$.

Еще парочка отрезков

Кажется, что эти прямые пройдут через точки $M$ и $N$. Докажем это. Треугольник $OLM$ подобен $RLK$.

$$RK=\sqrt{ OR^2-OK^2}=\sqrt{2^2-1,6^2}=1,2$$

$$\frac{OL}{LK}=\frac{OM}{RK}$$

Откуда

$$OM=\frac{RK\cdot OL}{LK}=\frac{1,2\cdot 1}{0,6}=2$$

А именно таков радиус большой окружности. Значит, точка $M$ - самая нижняя ее точка и лежит при этом на $RL$. Аналогично доказываем, что точка $N$ - самая нижняя точка меньшей окружности и при этом лежит на $RG$.

Найдем $RL$ и $RK$:

$$RL=\sqrt{1,2^2+0,6^2}=\sqrt{1,8}$$            

$$RK=\sqrt{1,2^2+0,4^2}=\sqrt{1,6}$$

Теорема косинусов для треугольника $RLG$:

$$LG^2=RL^2+RK^2-2RL\cdot RK\cos \alpha$$

$$1=1,8+1,6-2\sqrt{1,8\cdot 1,6}\cos \alpha$$

$$2,4=2\sqrt{1,8\cdot 1,6}\cos \alpha$$

$$1,2=\sqrt{1,8\cdot 1,6}\cos \alpha$$

$$\cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

На самом деле, проще было найти угол $\alpha$ как вписанный, так как мы доказали, что центральный - $90^{\circ}$.

Ответ: $\alpha=45^{\circ}$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Отрезок $AB$ - ось симметрии многоугольника. Поэтому отрезок $OC=OK$. Продлим $AK$ и пересечем с  продолжением $OM$:

Совсем немного дополнительных построений

Треугольник$MNK$ - равнобедренный прямоугольный, потому что внутренний угол правильного восьмиугольника - $135^{\circ}$, поэтому внешний - $45^{\circ}$. Поэтому $NM=MK=2$.

$$NK=NM\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$

Следовательно,

$$NA=NK+KA=2\sqrt{2}+2$$

Треугольник $NOA$ тоже равнобедренный, $NA=NO$. Тогда

$$NO=2\sqrt{2}+2$$

$$MO=NO-NM=2\sqrt{2}$$

Откуда по теореме Пифагора

$$KO=OC=\sqrt{MK^2+MO^2}=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3}$$

Ответ: $x=2\sqrt{3}$