Разное из группы Math-Досуг: площади кругов, треугольников и просто площади...

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Делаем дополнительные построения: проводим отрезок $OR$, перпендикулярный хорде. Он разделит хорду ровно пополам. Длина всей хорды 12, ее половины – 6. Поэтому отрезок $TR=2$. По теореме Пифагора найдем $OR$:

$$OR=\sqrt{OT^2-TR^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$$

Достроили отрезок $OR$ и радиус $OJ$.

Ну и по Пифагору же

$$R=OJ=\sqrt{OR^2+RJ^2}=\sqrt{5+6^2}=\sqrt{41}$$

Площадь круга

$$S=\pi R^2=41\pi$$

Ответ: $41\pi$.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Площадь треугольника $CBE$ - $S_{CBE}=0,25$. Треугольники $BEF$ и $CFD$ подобны с коэффициентом 2, поэтому высота $CFD$, поведенная из точки $F$, равна $\frac{2}{3}$, а высота $BFE$, проведенная из той же точки - $\frac{1}{3}$. Но нас интересует треугольник $BFE$. Его площадь

$$S_{BFE}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$

Сумма площадей $CBE$ и $BFE$ равна

$$ S_{CBE} +S_{BFE}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$$

Площадь закрашенной области:

$$S_{okr}=1-( S_{CBE} +S_{BFE})=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$$

Ответ: $S_{okr}=\frac{5}{12}$

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Все треугольники подобны: малый, большой и средний. Коэффициент подобия может быть определен по отношению двух любых элементов треугольников: по отношению биссектрис, сторон, высот, медиан и пр. В том числе по отношению радиусов вписанных окружностей. Коэффициент подобия между малым треугольником и средним равен $k=\frac{3}{4}$. Тогда, если принять (произвольно выбираем) $AD=3a$, то сходственная сторона среднего треугольника - $CD=4a$ (через коэффициент подобия). А это означает, что $ACD$ - египетский и $AC=5a$. Через подобие же

$$CD^2=AD\cdot DB$$

$$16a^2=3a\cdot DB$$

Откуда $DB=\frac{16}{3}a$.

Из теоремы Пифагора для $CDB$: $CB=\frac{20a}{3}$.

Для треугольника $CDB$ запишем радиус вписанной окружности (чтобы найти неизвестную нам пока $a$):

$$\frac{a+b-c}{2}=r$$

$$\frac{4a+\frac{16a}{3}-\frac{20a}{3}}{2}=4$$

$$4a-\frac{4a}{3}=8$$

$$\frac{a}{3}=1$$

$$a=3$$

Площадь большого треугольника

$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{20a}{3}\cdot 5a=\frac{100}{6}a^2=\frac{100}{6}\cdot 9=150$$

Ответ: 150.