Разное из группы Math-Досуг: площади и длины - 2

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Площадь квадрата равна 1, площадь треугольников $MAD$ и $BKF$ равна $\frac{1}{6}$.

Обозначаем треугольники

Треугольники $ABC$ и $DCF$ подобны с коэффициентом 3. Их высоты относятся с таким же коэффициентом, таким образом, высота треугольника $DCF$ составляет $\frac{3}{4}$ стороны квадрата, а высота $ABC$ - $\frac{1}{4}$ стороны квадрата. Поэтому площади указанных треугольников

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{24}$$

Площадь треугольника $DCF$ в 9 раз больше (в $k^2$ раз): $S_{DCF}=\frac{9}{24}$

Тогда искомая закрашенная площадь:

$$S_{isk}=1-S_{ MAD}-S_{ BKF}- S_{ABC}- S_{DCF}=1-\frac{1}{6}\cdot 2-\frac{1}{24}-\frac{9}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Дополнительных построений совсем немного: один только отрезок.

Единственное дополнительное построение

Если основание левого треугольника $2a$, основание правого $a$ (так как их площади отличаются вдвое, а высота одна и та же), то основание центрального треугольника $3a$. Тогда ширина прямоугольника $6a$.

Площадь треугольника слева

$$S=6=\frac{1}{2}\cdot 2ah=ah$$

Площадь всего прямоугольника

$$S_0=6ah=36$$

Искомая площадь равна $36-9=27$.

Ответ: 27.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Радиусы малых окружностей $\frac{a}{8}$, $\frac{a}{4}$ и $\frac{a}{2}$. Длина окружности $2\pi R$, длина полуокружности $\pi R$. Тогда длина зеленой линии

$$L_{zel}=\pi \cdot \frac{a}{8}+\pi \cdot \frac{a}{4}+\pi \cdot \frac{a}{2}$$

Радиус большой окружности

$$R_{bol}=\frac{\frac{a}{4}+\frac{a}{2}+a}{2}$$

Длина желтой линии

$$L_{gelt}=\pi \cdot\frac{\frac{a}{4}+\frac{a}{2}+a}{2}$$

То есть длины линий равны.

Ответ: одинаковые длины.