Разное из группы Math-Досуг: площади и длины

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AB=2k$, $AC=k$, по Пифагору $BC=\sqrt{5}k$. Тогда $\sin ACB=\frac{2}{\sqrt{5}}$, $\cos ACB=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Дополнительные построения и соображения

Угол $FCD$ - смежный с $ACB$, поэтому $\sin FCD=\frac{2}{\sqrt{5}}$, $\cos FCD=-\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Запишем для треугольника $FCD$ теорему синусов. В нем $FD=2k$ - так как это медиана прямоугольного треугольника $AFE$. Тогда

$$\frac{k}{\sin CFD}=\frac{2k}{\sin FCD}$$

$$\frac{1}{\sin CFD}=\frac{2}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$$

$$\sin CFD=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Теперь посмотрим на угол $FDE$. Он внешний для треугольника$FDC$ и поэтому равен $\angle FDE=\angle CFD+\angle FCD$.

$$\sin FDE=\sin(\angle CFD+\angle FCD)= \sin\angle CFD \cos \angle FCD+\cos \angle CFD \sin\angle FCD=-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=\frac{3}{5}$$

$$\cos FDE=-\frac{4}{5}$$

А теперь можно записать теорему косинусов для треугольника $FDE$:

$$(6\sqrt{2})^2=4k^2-4k^2\cos FDE$$

$$72=7,2k^2$$

$$k^2=10$$

$$k=\sqrt{10}$$

И, наконец, завершаем решение теоремой синусов для треугольника $CFD$:

$$\frac{FC}{\sin FDC }=\frac{2k}{\sin FCD}$$

$$\frac{FC}{\sin FDE }=\frac{2k}{\sin FCD}$$

$$\frac{FC}{\frac{3}{5}}=\frac{2\cdot \sqrt{10}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$$

$$FC=3\sqrt{2}$$

Ответ: $FC=3\sqrt{2}$

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Проведем диагональ квадрата из нижнего левого угла к правому верхнему.

Строим первую диагональ

Высоты синего и зеленого треугольников составят с ней один и тот же угол – пусть $\alpha$. Аналогично сторона меньшего квадрата - $a$ -  составит с красной диагональю угол $\alpha$. Длина красной диагонали

$$d_{kras}=\frac{H_{sinego}}{\cos \alpha}+\frac{a}{\cos \alpha}+\frac{H_{zelenogo}}{\cos \alpha}$$

Если провести вторую диагональ, то она, аналогично, будет равна

$$d_{gelt}=\frac{H_{orang}}{\cos \alpha}+\frac{a}{\cos \alpha}+\frac{H_{rozov}}{\cos \alpha}$$

Строим вторую диагональ

Угол тот же, поскольку $\alpha$ в первом случае и $\alpha$ во втором – углы со взаимно-перпендикулярными сторонами.

Диагонали квадрата равны.

$$\frac{H_{sinego}}{\cos \alpha}+\frac{a}{\cos \alpha}+\frac{H_{zelenogo}}{\cos \alpha}=\frac{H_{orang}}{\cos \alpha}+\frac{a}{\cos \alpha}+\frac{H_{rozov}}{\cos \alpha}$$

$$\frac{H_{sinego}}{\cos \alpha}+\frac{H_{zelenogo}}{\cos \alpha}=\frac{H_{orang}}{\cos \alpha}+\frac{H_{rozov}}{\cos \alpha}$$

Или

$$ H_{sinego}+ H_{zelenogo}= H_{orang}+ H_{rozov}$$

Если домножить на $a$, получим удвоенные площади:

$$ H_{sinego} a+ H_{zelenogo} a= H_{orang} a+ H_{rozov} a$$

$$ S_{sinego}+ S_{zelenogo}= S_{orang}+ S_{rozov}$$

$$ 3+ 4= S_{orang}+ 2$$

$$ S_{orang}=5$$

Ответ: 5.