Простенькие задачи из Math-Досуг

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Сделаем дополнительное построение, выделим правильный треугольник $FBC$:

Дополнительные построения для решения задачи

Обозначим $BC=FB=b$, $AF=a$. Тогда $DC=a$.

Треугольники $FDB$ и $BDC$ равны по первому признаку: по двум сторонам и углу между ними. Тогда $FD=a$.

Если принять острые углы треугольника $FCD$ за $\beta$, то его внешний угол $FDA$ будет равен $2\beta$. Так как треугольник $AFD$ равнобедренный, то $\alpha=2\beta$. При этом угол $\angle AFD=120^{\circ}-\beta$. Сумма углов треугольника $AFD$:

$$180^{\circ}=2\beta+2\beta+120^{\circ}-\beta$$

$$3\beta=60^{\circ}$$

$$2\beta=\alpha=40^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=40^{\circ}$.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Стороны прямоугольника равны 8 и 9, таким образом, $\operatorname {tg}\alpha=\frac{1}{3}$, $\operatorname {tg}\beta=\frac{1}{2}$.

Вводим углы и находим их тангенсы

Тангенс суммы данных углов

$$\operatorname {tg}(\alpha_1+\beta)=\frac{\operatorname {tg}\alpha_1+\operatorname {tg}\beta}{1-\operatorname {tg}\alpha_1\cdot\operatorname {tg}\beta}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}=1$$

То есть $\alpha_1+\beta=45^{\circ}$, значит, $\alpha=45^{\circ}$.

Ответ: $\alpha=45^{\circ}$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Задача устная. Определяем углы самого правого треугольника, это $20^{\circ}$ (дан), $60^{\circ}$ (угол правильного треугольника), и $100^{\circ}$ (находим через сумму углов треугольника). Тогда

$$\alpha=180^{\circ}-100^{\circ}-60^{\circ}=20^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=20^{\circ}$.