Площади разных фигур в не самых простых задачах

Задача 1.

На рисунке площадь треугольника $AFD$ равна 48, а площадь треугольника $DHC$ равна 12. Оба треугольника – равнобедренные ( $AF=FD$, $DH=HC$). Основание треугольника $ABC$ $AC=22$. Угол $\angle FDH=90^{\circ}$. Найти площадь четырехугольника $FBHD$.

Рисунок к задаче 1

Решение. Обозначим угол $\angle FDA=\alpha$, а угол $\angle HDC=\beta$. Заметим, что $\alpha+\beta=90^{\circ}$, то есть $\sin \alpha=\cos\beta$ и наоборот.

Запишем известные площади треугольников $AFD$ и $DHC$:

$$S_{ AFD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot FD\cdot \sin\alpha=48$$

$$S_{ DHC}=\frac{1}{2}\cdot DH\cdot DC\cdot \sin\beta=12$$

Также заметим, что

$$\frac{\frac{1}{2}AD}{FD}=\cos \alpha$$

$$\frac{\frac{1}{2}DC}{DH}=\cos \beta$$

Выразим $FD$ и $DH$:

$$FD=\frac{\frac{1}{2}AD}{\cos \alpha}$$

$$DH=\frac{\frac{1}{2}DC}{\cos \beta}$$

И подставим в наши площади:

$$\frac{1}{4}AD^2\frac{\sin\alpha }{\cos \alpha }=48$$

$$\frac{1}{4}DH^2\frac{\sin\beta }{\cos \beta }=12$$

Перемножаем последние равенства:

$$\frac{1}{16}AD^2\cdot DH^2\frac{\sin\alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{\sin\beta }{\cos \beta }=12^2\cdot 4$$

Так как $\sin \alpha=\cos\beta$ и $ \cos \alpha= \sin \beta$, то перепишем как

$$ AD^2\cdot DH^2=12^2\cdot 4\cdot 16$$

Или

$$AD\cdot DH=12\cdot 2\cdot 4=96$$

Но по условию $AD+DH=22$, поэтому можно записать

$$AD(22-AD)=96$$

Решаем это квадратное уравнение:

$$AD^2-22AD+96=0$$

$$D=484-4\cdot 96=100$$

Корни $\frac{22\pm 10}{2}=11\pm 5$. То есть $AD=16$, $DH=6$.

Получаем, что высота треугольника $AFD$ $H=6$ (вычислили, зная площадь и основание), а высота треугольника $DHC$ $h=4$. Тогда половинка треугольника $AFD$, образованная высотой $H$, стороной $FD$ и половинкой $AD$ - египетский треугольник, его стороны 8, 6 и $FD=10$. Аналогично половинка треугольника $DHC$, образованная высотой $h$, стороной $DH$ и половинкой $DC$ - египетский треугольник, его стороны 3, 4 и $DH=5$.

Следовательно,

$$\cos \alpha =\frac{\frac{1}{2}AD}{FD}= \frac{8}{10}$$

$$\cos \beta =\frac{\frac{1}{2}DC}{DH}= \frac{3}{5}$$

То есть треугольник $ABC$ - прямоугольный! А четырехугольник $FBHD$ - вписанный, причем $FH$ - диаметр описанной окружности, так как именно на диаметр опираются прямые вписанные углы $\angle FBH$ и $\angle FDH$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Его основание можно записать как

$$AC=AB\cos \alpha+BC\cos \beta$$

Или

$$22=0,8AB+0,6BC$$

Но

$$AB^2+BC^2=22^2$$

Откуда

$$AB^2=22^2-\left(\frac{22-0,8AB}{0,6}\right)^2$$

Решим это.

$$AB^2=22^2-\frac{22^2-2\cdot 22\cdot 0,8AB+0,64AB^2}{0,36}$$

$$0,36AB^2=22^2\cdot 0,36-22^2+2\cdot 22\cdot 0,8AB-0,64AB^2$$

$$AB^2-2\cdot 22\cdot 0,8AB+0,64\cdot 22^2=0$$

Да это полный квадрат!

$$(AB-0,8\cdot 22)^2=0$$

$$AB=22\cdot0,8=17,6$$

$$BC=\frac{22-0,8AB }{0,6}=\frac{7,92}{0,6}=13,2$$

Определим площадь треугольника $ABC$:

$$S=\frac{1}{2}AB\cdot BC=0,5\cdot 17,6\cdot 13,2=116,16$$

Теперь вычтем из нее площадь $AFD$ и площадь треугольника $DHC$:

$$S_{FBHD}=S_{ABC}-S_{AFD}-S_{DHC}=116,16-48-12=56,16$$

Ответ: $S_{FBHD}=56,16$

Задача 2.

Задача из группы ВК «Math-Досуг» представлена на рисунке.

Задача 2

Решение.

Заметим, что треугольник $ADC$ - равнобедренный. Если обозначить сторону квадрата за $a$ и провести высоту вышеозначенного треугольника (она же и медиана), то

$$\cos \beta=\frac{4}{a}$$

Где $\beta=\angle DAC$.

Дополнительные построения

Но угол $\angle FAD$ дополняет угол $\beta$ до $90^{\circ}$, поэтому $\sin \angle FAD=\cos \beta =\frac{4}{a}$.

А значит, можно считать площадь:

$$S_{AFD}=\frac{1}{2}AF\cdot AD\sin \angle FAD=\frac{1}{2}AF\cdot AD\cos \beta=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 8\cdot \frac{4}{a}=16$$

Ответ: 16.