Окружности, задачи из группы Math-Досуг

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Сторона квадрата равна 6, а радиус окружности - $OG$ - 5.

Проводим радиус

Поэтому $DH=2$, $AH=8$, а $BH$ - по теореме Пифагора для треугольника $ABH$ - 10.

Ответ: 10.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Отрезки $DB$ и $BE$ - радиусы окружности.

$$DB=BE=r$$

По теореме об отрезках касательных $AC=17$. Треугольник $ABC$ - прямоугольный, по теореме Пифагора для него

$$AB^2+BC^2=AC^2$$

$$(r+12)^2+(r+5)^2=289$$

$$r^2+24r+144+r^2+10r+25-289=0$$

$$r^2+17r-60=0$$

$$r=3$$

Чтобы определить площадь, мало знать радиус. Нужен еще центральный угол зеленой области. Найдем его с помощью теоремы косинусов для треугольника $AOC$:

$$AC^2=AO^2+OC^2-2AO\cdot OC\cdot \cos AOC$$

По теореме Пифагора с легкостью находим $AO=\sqrt{153}$ и $OC=\sqrt{34}$.

$$289=153+34-2\sqrt{153}\cdot \sqrt{34}\cdot \cos AOC$$

$$102=-2\sqrt{19\cdot 9\cdot 17\cdot 2}\cdot \cos AOC$$

$$\cos AOC=-\frac{51}{17\cdot 3\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Таким образом, $\angle AOC=135^{\circ}$. А значит, искомая площадь - $\frac{3}{8}$ площади круга.

$$S_{isk}=\frac{3}{8}\pi r^2=\frac{27}{8}\pi=3,375\pi$$

Ответ: $S_{isk}=3,375\pi$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Проводим прямую через центры обеих окружностей. Она пройдет и через точку касания.

Сделаем несколько дополнительных построений: построим радиусы обеих окружностей

По теореме Пифагора для рыжего треугольника

$$(R-r)^2=3^2+r^2$$

Подставим $R=5$:

$$25-10r+r^2=9+r^2$$

$$16=10r$$

$$r=1,6$$

Гипотенуза рыжего треугольника по теореме Пифагора равна 3,4. Отрезок $x$ найдем по теореме косинусов для треугольника $AOB$:

$$x^2=OA^2+OB^2-2OB\cdot OA\cdot \cos AOB$$

$$\cos AOB=\frac{3}{3,4}$$

$$x^2=5^2+3^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \frac{3}{3,4}$$

$$x^2=34-\frac{90}{3,4}=\frac{25,6}{3,4}$$

$$x=\frac{16}{\sqrt{34}}$$

Ответ: $x=\frac{16}{\sqrt{34}}$