Метод "резинок" и другие задачи

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Вводим отрезки $a, b, c, d$. По теореме о высоте прямоугольного треугольника

$$8^2=ab$$

Всего несколько обозначений и одно-единственное построение

С другой стороны, $a+b=20$, подставим:

$$64=b(20-b)$$

$$b^2-20b+64=0$$

Получаем $b=4$ или $b=16$. У нас $a=4$, $b=16$. Тогда можем найти длины $c$ и $d$:

$$c^2=8^2+a^2=64+16=80$$

$$c=4\sqrt{5}$$

$$d^2=8^2+b^2=64+256=320$$

$$d=8\sqrt{5}$$

Все треугольники прямоугольные, радиус самой большой окружности:

$$R_1=\frac{c+d-20}{2}=\frac{12\sqrt{5}-20}{2}=6\sqrt{5}-10$$

Радиус средней окружности:

$$R_2=\frac{b+8-d}{2}=\frac{16+8-8\sqrt{5}}{2}=12-4\sqrt{5}$$

Радиус малой окружности:

$$R_3=\frac{a+8-c}{2}=\frac{8+4-4\sqrt{5}}{2}=6-2\sqrt{5}$$

Сумма радиусов:

$$R_1+R_2+R_3=6\sqrt{5}-10+12-4\sqrt{5}+6-2\sqrt{5}=8$$

Ответ: 8.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Пусть сторона квадрата $a$, тогда сторона правильного треугольника тоже $a$, а его высота $H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Высота малого треугольника (показан на рисунке)

$$h=a-H=a-\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

А его сторона

$$a_1=\frac{2h}{\sqrt{3}}=a\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1\right)$$

Некоторые обозначения и ввод малого треугольника

Длина отрезка $AB$

$$AB=\frac{a}{2}+\frac{a_1}{2}=\frac{a}{2}+\frac{a}{\sqrt{3}}-\frac{a}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$

Отрезок $BC=a$, отрезок $AC$

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$$

Находим искомый радиус:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{AB\cdot BC}{2}}{\frac{AB+BC+AC}{2}}=\frac{ AB\cdot BC }{ AB+BC+AC }$$

$$r=\frac{ \frac{a^2}{\sqrt{3}}}{ \frac{a}{\sqrt{3}}+a+\frac{2a}{\sqrt{3}} }$$

$$r=\frac{a}{3+\sqrt{3}}$$

Ответ именно такой, так как не сказано, что квадрат единичный.

Ответ: $r=\frac{a}{3+\sqrt{3}}$

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Мне видится один способ: опять метод «резинок». Перемещаем точку скрепления резиночек $a$, $b$ и $c$ на середину правой боковой стороны. Тогда $a=1$, $c=1$, $b=\sqrt{3}$. Сумма квадратов равна

$$a^2+b^2+c^2=1+1+3=5$$

Ответ: 5