И опять площади из Math-Досуга

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Шестиугольник хорош тем, что его можно разбить на шесть правильных треугольников, имеющих общую точку в центре. Площадь каждого - $\frac{S}{6}$, где $S$ - площадь шестиугольника. Сумма площадей треугольников с основаниями $x$ и $y$ равна $\frac{S}{6}$, где $S$ - площадь шестиугольника. Дело в том, что высоты этих треугольников равны радиусу вписанной окружности, а сумма оснований – стороне шестиугольника. Площадь треугольника $FEG$ также имеет основанием сторону шестиугольника, а вот его высота равна удвоенной высоте треугольника $ABG$, поэтому $S_{FEG}=\frac{2}{6}S$. В сумме желтые площади - $\frac{S}{2}$, остается площадь, равная 25, следовательно, $S=50$.

Разбиваем на равные половины

Теперь разобьем наш шестиугольник пополам иначе – проведем $BE$. Тогда

$$\frac{S}{2}=S_{CDG}+S_{DEG}+S_{BGE}$$

$$25=\frac{x\cdot 2h}{2}+13+\frac{yh}{2}$$

Здесь $h$ - как раз радиус вписанной в шестиугольник окружности.

$$xh+\frac{yh}{2}=12$$

Сумма площадей треугольников $ABG$ и $CDG$:

$$S_{ABG}+S_{CDG}=\frac{(x+y)h}{2}=\frac{S}{6}=\frac{25}{3}$$

Тогда, подставив это, получим:

$$\frac{xh}{2}+\frac{xh}{2}+\frac{yh}{2}=12$$

$$\frac{25}{3}+\frac{xh}{2}=12$$

$$\frac{xh}{2}=12-8\frac{1}{3}=3\frac{2}{3}~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Используем то, что

$$\frac{(x+y)h}{2}=\frac{25}{3}$$

$$\frac{yh}{2}=\frac{14}{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Тогда, разделив (1) на (2), получим

$$\frac{x}{y}=\frac{11}{14}$$

Ответ: $\frac{x}{y}=\frac{11}{14}$.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Пусть длинная сторона прямоугольника $a$, короткая - $b$. Тогда площадь правого треугольника $S_2=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}$. Высотой левого треугольника будет служить как раз $b$,

$$b=c\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Где $c$ - сторона левого треугольника. Его площадь

$$S_1=\frac{c^2\sqrt{3}}{4}=\frac{b^2}{\sqrt{3}}$$

Мы ищем

$$S_1+S_2=\frac{b^2}{\sqrt{3}}+\frac{b^2\sqrt{3}}{4}$$

Выражаем $a$ через $b$

Значит, осталось понять, как выражается $a$ через $b$. Длина прямоугольника $a$ складывается из трех отрезков: белого (это высота правильного треугольника со стороной $b$, он равен $\frac{b\sqrt{3}}{2}$), рыжего (это средняя линия треугольника со стороной $c$, он равен $\frac{c}{2}$), и фиолетового – это половинка средней линии треугольника со стороной $c$ - то есть $\frac{c}{4}$. Итак:

$$a= \frac{b\sqrt{3}}{2}+\frac{c}{2}+\frac{c}{4}=\frac{b\sqrt{3}}{2}+\frac{3c}{4}=\frac{b\sqrt{3}}{2}+\frac{b\sqrt{3}}{2}=b\sqrt{3}$$

Как нам известно,

$$ab=1$$

$$b^2\sqrt{3}=1$$

$$b^2=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Вернемся к искомой площади:

$$S_1+S_2=\frac{b^2}{\sqrt{3}}+\frac{b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$$

Ответ: $\frac{7}{12}$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Правильный шестиугольник прекрасно разбивается на шесть правильных треугольников, два из них сразу хорошо видно (выделены рыжим):

Разбиение на треугольники равных площадей

Еще один не является правильным, но зато у него то же основание и та же высота, поэтому и площадь та же (выделен красным). У синего площадь равна $\frac{1}{12}$ - конечно, ведь высота та же, а основание вдвое меньше! Наконец, остался фиолетовый: основание меньше в два раза, а высота – больше в два раза, поэтому площадь - $\frac{1}{6}$! «Отрезаем» все ненужное, тогда нужное:

$$1-\frac{1}{6}\cdot 4-\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

Ответ: 0,25