Геометрия с фантазией: площади и длины. Задачи из группы Math-Досуг.

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Площадь треугольника $ABC$ - $\frac{1}{4}$ квадрата. Площадь треугольника $CDF$ - $\frac{3}{16}$ квадрата.

Расставим обозначения точек

Площадь треугольника $AEF$ - $\frac{1}{8}$ квадрата. Таким образом, площадь треугольника $AFC$ равна

$$S_{AFC}=1-\frac{1}{4}-\frac{3}{16}-\frac{1}{8}=\frac{21}{48}$$

Площади треугольников $AFK$ и $FKC$ равны (равные основания и одна и та же высота), площади треугольников $AMK$ и $AMF$ равны по той же причине. Тогда

$$ S_{AMF}=\frac{1}{4} S_{AFC}$$

Площадь закрашенной рыжим области равна

$$ S=\frac{3}{4} S_{AFC}=\frac{3}{4}\cdot \frac{21}{48}=\frac{21}{64}$$

Ответ: $\frac{21}{64}$

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Площадь треугольника $ABC$ - $\frac{1}{4}$ квадрата. Площадь треугольника $CKM$ - $\frac{1}{8}$ квадрата. Площадь треугольника $BKC$ - $\frac{1}{8}$ квадрата.

Треугольник $ABC$ равен треугольнику $BKM$, а значит, $BOC$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $\frac{AC}{BC}$.

Обозначим точки

$$k=\frac{AC}{BC}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{5}$$

$$k^2=5$$

Как известно, отношение площадей подобных фигур равно $k^2$:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=k^2=5$$

$$ S_{BOC}=\frac{S_{ABC}}{5}=\frac{1}{20}$$

Искомая площадь:

$$S= (S_{ABC}- S_{BOC})+( S_{BKM}- S_{BOC}-S_{CKM})=\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{20}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{20}-\frac{1}{8}\right)=\frac{2}{4}-\frac{2}{20}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}-\frac{1}{10}=0,275=\frac{11}{40}$$

Ответ: $\frac{11}{40}$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Рассмотрим два треугольника справа, для них по теореме Пифагора:

$$400-a^2=576-b^2$$

Или

$$b^2-a^2=176$$

Рассмотрим два треугольника слева, для них по теореме Пифагора:

$$x^2-a^2=225-b^2$$

Или

$$b^2-a^2=176=225-x^2$$

$$x^2=49$$

$$x=7$$

Ответ: $x=7$.

Задача 4.

Рисунок к задаче 4

Решение. Проводим $LN$. Образуется Пифагорова тройка, $LN=25$.

Рассуждения и дополнительные построения

Рассматриваем большой треугольник. Его катеты 24 и 32, тоже Пифагорова тройка, гипотенуза равна 40. Тогда половинки гипотенузы по 20, и снова имеем Пифагоровы тройку, откуда $x=15$.

Ответ: 15.